Помогите, пожалуйста, решить уравнение: cos(arcsin(5/13) + 4arctg(2/3)) = ?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение косинус арксинус арктангенс Тригонометрия решение уравнения математика 11 класс Новый

Для решения данного уравнения мы будем использовать тригонометрические формулы и свойства функций.

Давайте сначала обозначим:

• α = arcsin(5/13)
• β = 4arctg(2/3)

Нам нужно найти cos(α + β). Для этого воспользуемся формулой косинуса суммы:

cos(α + β) = cos(α) cos(β) - sin(α) sin(β)

Теперь нам нужно найти значения cos(α), sin(α), cos(β) и sin(β).

Шаг 1: Находим sin(α) и cos(α)

Поскольку α = arcsin(5/13), мы знаем, что:

• sin(α) = 5/13

Теперь найдем cos(α) с помощью теоремы Пифагора:

• cos(α) = √(1 - sin²(α)) = √(1 - (5/13)²) = √(1 - 25/169) = √(144/169) = 12/13

Шаг 2: Находим sin(β) и cos(β)

Теперь найдем β = 4arctg(2/3). Для этого сначала найдем sin(arctg(2/3)) и cos(arctg(2/3)).

Пусть θ = arctg(2/3). Тогда:

• tg(θ) = 2/3
• sin(θ) = 2/√(2² + 3²) = 2/√(4 + 9) = 2/√13
• cos(θ) = 3/√(2² + 3²) = 3/√13

Теперь применим формулы двойного угла для нахождения sin(4θ) и cos(4θ):

• sin(4θ) = 2 * sin(2θ) * cos(2θ)
• cos(4θ) = cos²(2θ) - sin²(2θ)

Сначала найдем sin(2θ) и cos(2θ):

• sin(2θ) = 2 * sin(θ) * cos(θ) = 2 * (2/√13) * (3/√13) = 12/13
• cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) = (3/√13)² - (2/√13)² = (9/13) - (4/13) = 5/13

Теперь найдем sin(4θ) и cos(4θ):

• sin(4θ) = 2 * sin(2θ) * cos(2θ) = 2 * (12/13) * (5/13) = 120/169
• cos(4θ) = cos²(2θ) - sin²(2θ) = (5/13)² - (12/13)² = (25/169) - (144/169) = -119/169

Шаг 3: Подставляем значения в формулу

Теперь подставим все найденные значения в формулу для cos(α + β):

• cos(α + β) = cos(α) * cos(β) - sin(α) * sin(β)
• cos(α + β) = (12/13) * (-119/169) - (5/13) * (120/169)

Теперь считаем:

• cos(α + β) = (-12 * 119)/(13 * 169) - (5 * 120)/(13 * 169)
• cos(α + β) = (-1428 - 600)/(13 * 169)
• cos(α + β) = -2028/(13 * 169)

Таким образом, окончательный ответ:

cos(arcsin(5/13) + 4arctg(2/3)) = -2028/(13 * 169)