Помогите решить предел. lim x^(2)*ctg(2x)/sin(3x) при x→0

Математика 11 класс Пределы функций предел математика lim x2 ctg(2x) sin(3x) x→0 решение предела Новый

Для решения предела lim x^(2)*ctg(2x)/sin(3x) при x→0, начнем с разложения функций вблизи точки x=0.

1. Определение функций:

• Функция cotangent (ctg) определяется как ctg(x) = cos(x)/sin(x).
• При малых значениях x, sin(x) ≈ x и cos(x) ≈ 1.

2. Разложим ctg(2x):

• ctg(2x) = cos(2x)/sin(2x).
• При x→0, cos(2x) ≈ 1 и sin(2x) ≈ 2x.
• Следовательно, ctg(2x) ≈ 1/(2x).

3. Теперь подставим это в предел:

• lim x^(2) * ctg(2x)/sin(3x) = lim x^(2) * (1/(2x)) / sin(3x).
• Это можно упростить до: lim (x^(2)/(2x * sin(3x))) = lim (x/(2 * sin(3x))).

4. Теперь разложим sin(3x):

• При x→0, sin(3x) ≈ 3x.

5. Подставим это в предел:

• Теперь у нас есть: lim (x/(2 * 3x)) = lim (1/(6)) = 1/6.

6. Таким образом, окончательный ответ:

lim x^(2)*ctg(2x)/sin(3x) при x→0 = 1/6.