Для решения уравнения cos^2(π-x) + sin(2x) = 0 начнем с упрощения выражений.

Первое, что мы можем сделать, это использовать тригонометрические тождества для преобразования cos^2(π-x). По свойству косинуса, мы знаем, что:

• cos(π-x) = -cos(x)

Следовательно, cos^2(π-x) можно записать как:

• cos^2(π-x) = (-cos(x))^2 = cos^2(x)

Теперь подставим это в уравнение:

cos^2(x) + sin(2x) = 0

Следующий шаг - преобразовать sin(2x) с использованием двойного угла:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь подставим это в уравнение:

cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) = 0

Теперь можем вынести общий множитель cos(x):

cos(x)(cos(x) + 2sin(x)) = 0

Это уравнение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый случай отдельно:

1. cos(x) = 0
2. cos(x) + 2sin(x) = 0

Решим первый случай:

cos(x) = 0

Косинус равен нулю на значениях:

• x = π/2 + kπ, где k - целое число

Теперь перейдем ко второму случаю:

cos(x) + 2sin(x) = 0

Можно выразить косинус через синус:

cos(x) = -2sin(x)

Теперь используем тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Подставим значение cos(x):

sin^2(x) + (-2sin(x))^2 = 1

Раскроем скобки:

sin^2(x) + 4sin^2(x) = 1

Сложим подобные:

5sin^2(x) = 1

Теперь выразим sin^2(x):

sin^2(x) = 1/5

Теперь найдем sin(x):

sin(x) = ±√(1/5) = ±1/√5

Используем арксинус для нахождения x:

x = arcsin(1/√5) + 2kπ

x = π - arcsin(1/√5) + 2kπ

x = arcsin(-1/√5) + 2kπ

x = π - arcsin(-1/√5) + 2kπ

Теперь мы получили все возможные решения уравнения:

• x = π/2 + kπ (из первого случая)
• x = arcsin(1/√5) + 2kπ
• x = π - arcsin(1/√5) + 2kπ
• x = arcsin(-1/√5) + 2kπ
• x = π - arcsin(-1/√5) + 2kπ

Где k - любое целое число. Это и есть все решения данного уравнения.