Помогите решить уравнения, пожалуйста.

1. A) 4sinX • cosX • cos2X = 1
2. Б) cos^2X = 1/2 + sin^2X
3. В) sinX • cos(x + π/3) + cosX • sin(x + π/3) = 0

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнения математика 11 класс решение тригонометрических уравнений синус косинус алгебра Тригонометрия математические задачи Новый

Давайте решим каждое из предложенных уравнений по порядку.

A) 4sinX • cosX • cos2X = 1

Для начала мы можем использовать тригонометрическую идентичность для cos2X:

• cos2X = cos^2X - sin^2X = 2cos^2X - 1 = 1 - 2sin^2X.

Выберем наиболее удобную для нас форму. Подставим cos2X = 2cos^2X - 1 в уравнение:

• 4sinX • cosX • (2cos^2X - 1) = 1.

Теперь раскроем скобки:

• 8sinX • cosX • cos^2X - 4sinX • cosX = 1.

Переносим все в одну сторону:

• 8sinX • cosX • cos^2X - 4sinX • cosX - 1 = 0.

Теперь можно заметить, что можно вынести общий множитель 4sinX • cosX:

• 4sinX • cosX (2cos^2X - 1) - 1 = 0.

Теперь решим уравнение 4sinX • cosX = 0:

• sinX = 0 → X = nπ, где n - целое число;
• cosX = 0 → X = (2n + 1)π/2, где n - целое число.

Теперь решим уравнение 2cos^2X - 1 = 0:

• cos^2X = 1/2 → cosX = ±√(1/2) = ±1/√2.

Это дает нам:

• X = π/4 + 2nπ или X = 7π/4 + 2nπ.

Б) cos^2X = 1/2 + sin^2X

Используем тригонометрическую идентичность sin^2X + cos^2X = 1:

• sin^2X = 1 - cos^2X.

Теперь подставим это в уравнение:

• cos^2X = 1/2 + (1 - cos^2X).

Упрощаем:

• cos^2X = 1/2 + 1 - cos^2X;
• cos^2X + cos^2X = 3/2;
• 2cos^2X = 3/2;
• cos^2X = 3/4.

Теперь найдем cosX:

• cosX = ±√(3/4) = ±√3/2.

Это дает нам:

• X = π/6 + 2nπ или X = 11π/6 + 2nπ;
• X = 5π/6 + 2nπ или X = 7π/6 + 2nπ.

В) sinX • cos(x + π/3) + cosX • sin(x + π/3) = 0

Используем формулу суммы углов для синуса:

• sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b).

Таким образом, уравнение можно записать как:

• sinX • (cosX • cos(π/3) - sinX • sin(π/3)) = 0.

Зная, что cos(π/3) = 1/2 и sin(π/3) = √3/2, упростим:

• sinX • (1/2 • cosX - √3/2 • sinX) = 0.

Теперь решим уравнение:

• sinX = 0 → X = nπ;
• 1/2 • cosX - √3/2 • sinX = 0 → cosX = √3sinX.

Это можно записать как:

• tanX = √3/2.

Таким образом, X = arctan(√3/2) + nπ.

На этом все! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.