Помогите с этим заданием (математика не мое)

Найдите производную функции y=f(x) в точках х=а:

1. f(x)=корень(2x-3) при а=2
2. f(x)=sin(2x) при а=пи/6
3. f(x)=2x*cos(x) при а=0
4. f(x)=e^x+5 при а=ln(5)
5. f(x)=x/(1+x^2) при а=0

Математика 11 класс Производная функции производная функции математика 11 класс нахождение производной производная корень производная синус производная косинус производная экспоненты производная дробной функции

Давайте разберемся с каждой функцией и найдем производные в заданных точках! Это может показаться сложным, но с правильным подходом все получится!

1. f(x) = корень(2x - 3) при a = 2

   Сначала найдем производную:

   f'(x) = (1/2) * (2x - 3)^(-1/2) * 2 = 1 / корень(2x - 3)

   Теперь подставим x = 2:

   f'(2) = 1 / корень(2*2 - 3) = 1 / корень(1) = 1

2. f(x) = sin(2x) при a = пи/6

   Находим производную:

   f'(x) = 2 * cos(2x)

   Теперь подставим x = пи/6:

   f'(пи/6) = 2 * cos(пи/3) = 2 * (1/2) = 1

3. f(x) = 2x * cos(x) при a = 0

   Используем правило произведения:

   f'(x) = 2 * cos(x) - 2x * sin(x)

   Теперь подставим x = 0:

   f'(0) = 2 * cos(0) - 2*0 * sin(0) = 2 * 1 = 2

4. f(x) = e^x + 5 при a = ln(5)

   Производная будет:

   f'(x) = e^x

   Подставляем x = ln(5):

   f'(ln(5)) = e^(ln(5)) = 5

5. f(x) = x / (1 + x^2) при a = 0

   Используем правило деления:

   f'(x) = (1*(1 + x^2) - x*(2x)) / (1 + x^2)^2 = (1 + x^2 - 2x^2) / (1 + x^2)^2 = (1 - x^2) / (1 + x^2)^2

   Теперь подставляем x = 0:

   f'(0) = (1 - 0^2) / (1 + 0^2)^2 = 1 / 1 = 1

Итак, результаты:

• f'(2) = 1
• f'(пи/6) = 1
• f'(0) = 2
• f'(ln(5)) = 5
• f'(0) = 1

Надеюсь, это поможет вам! Верьте в себя и продолжайте учиться! У вас все получится!

Конечно, давайте по порядку найдем производные данных функций в указанных точках. Я объясню каждый шаг.

1. f(x) = корень(2x - 3) при a = 2

• Сначала найдем производную функции. Используем правило производной корня: (d/dx)(sqrt(u)) = (1/(2*sqrt(u))) * (du/dx).
• В нашем случае u = 2x - 3, тогда du/dx = 2.
• Теперь подставим: f'(x) = (1/(2*sqrt(2x - 3))) * 2 = 1/sqrt(2x - 3).
• Теперь подставим x = 2: f'(2) = 1/sqrt(2*2 - 3) = 1/sqrt(4 - 3) = 1/sqrt(1) = 1.

Ответ: f'(2) = 1

2. f(x) = sin(2x) при a = π/6

• Найдем производную функции. Используем правило производной синуса: (d/dx)(sin(u)) = cos(u) * (du/dx).
• В нашем случае u = 2x, тогда du/dx = 2.
• Следовательно, f'(x) = cos(2x) * 2 = 2cos(2x).
• Теперь подставим x = π/6: f'(π/6) = 2cos(2*(π/6)) = 2cos(π/3) = 2*(1/2) = 1.

Ответ: f'(π/6) = 1

3. f(x) = 2x*cos(x) при a = 0

• Для нахождения производной используем правило произведения: (d/dx)(uv) = u'v + uv'.
• Здесь u = 2x и v = cos(x). Найдем u' = 2 и v' = -sin(x).
• Теперь f'(x) = 2*cos(x) + 2x*(-sin(x)) = 2cos(x) - 2xsin(x).
• Теперь подставим x = 0: f'(0) = 2*cos(0) - 2*0*sin(0) = 2*1 - 0 = 2.

Ответ: f'(0) = 2

4. f(x) = e^x + 5 при a = ln(5)

• Производная функции e^x равна e^x, а производная константы 5 равна 0.
• Таким образом, f'(x) = e^x.
• Теперь подставим x = ln(5): f'(ln(5)) = e^(ln(5)) = 5.

Ответ: f'(ln(5)) = 5

5. f(x) = x/(1 + x^2) при a = 0

• Для нахождения производной используем правило деления: (d/dx)(u/v) = (u'v - uv')/v^2.
• Здесь u = x и v = 1 + x^2. Найдем u' = 1 и v' = 2x.
• Теперь f'(x) = (1*(1 + x^2) - x*(2x))/((1 + x^2)^2) = (1 + x^2 - 2x^2)/((1 + x^2)^2) = (1 - x^2)/((1 + x^2)^2).
• Теперь подставим x = 0: f'(0) = (1 - 0^2)/((1 + 0^2)^2) = 1/1 = 1.

Ответ: f'(0) = 1

Итак, результаты для производных в указанных точках:

• f'(2) = 1
• f'(π/6) = 1
• f'(0) = 2
• f'(ln(5)) = 5
• f'(0) = 1