Помогите вычислить предел. Даю 60!!

Lim(x->pi/2)((pi-2x)*tg(x))

Математика 11 класс Пределы функций предел вычислить предел математика 11 класс лимит функции tg(x) pi/2 предел функции математический анализ Новый

Чтобы вычислить предел Lim(x->pi/2)((pi-2x)*tg(x)), начнем с анализа выражения в пределах предела.

Когда x стремится к pi/2, значение tg(x) (тангенс x) стремится к бесконечности, так как тангенс не определен в этой точке и имеет вертикальную асимптоту. В то же время, выражение (pi - 2x) стремится к 0, так как:

• Когда x = pi/2, pi - 2x = pi - 2*(pi/2) = pi - pi = 0.

Таким образом, мы имеем неопределенность вида 0 * бесконечность. Чтобы решить этот предел, преобразуем его в более удобную форму. Мы можем переписать предел следующим образом:

Lim(x->pi/2)((pi-2x)*tg(x)) = Lim(x->pi/2)((pi-2x)/(cot(x))),

где cot(x) (котангенс) является обратной функцией к тангенсу. Теперь мы можем использовать правило Лопиталя, так как у нас все еще неопределенность 0/0.

Теперь найдем производные числителя и знаменателя:

1. Производная числителя (pi - 2x) равна -2.
2. Производная знаменателя cot(x) равна -csc^2(x).

Теперь применим правило Лопиталя:

Lim(x->pi/2)((pi-2x)/(cot(x))) = Lim(x->pi/2)(-2 / -csc^2(x)) = Lim(x->pi/2)(2 * sin^2(x)).

Теперь подставим x = pi/2:

sin(pi/2) = 1, поэтому sin^2(pi/2) = 1.

Таким образом, предел равен:

Lim(x->pi/2)(2 * sin^2(x)) = 2 * 1 = 2.

В итоге, предел Lim(x->pi/2)((pi-2x)*tg(x)) = 2.