Пожалуйста, найдите корни уравнения 2sin^2(П/2 - x) = -√3cosx в промежутке от -3П до -3П/2.

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения корни уравнения уравнение с синусом промежуток от -3П до -3П/2 решение тригонометрических уравнений математика 11 класс Новый

Чтобы решить уравнение 2sin²(π/2 - x) = -√3cosx, начнем с упрощения левой части. Мы знаем, что sin(π/2 - x) = cos(x). Таким образом, уравнение можно переписать:

2cos²(x) = -√3cos(x)

Теперь переместим все на одну сторону уравнения:

2cos²(x) + √3cos(x) = 0

Теперь можно вынести общий множитель cos(x):

cos(x)(2cos(x) + √3) = 0

Теперь у нас есть два возможных случая:

1. cos(x) = 0
2. 2cos(x) + √3 = 0

Рассмотрим первый случай:

• cos(x) = 0, когда x = (2n + 1)π/2, где n - целое число.
• В промежутке от -3π до -3π/2, подставим n = -3:
• x = (-6 + 1)π/2 = -5π/2 (это подходит).
• Подставим n = -2:
• x = (-4 + 1)π/2 = -3π/2 (это также подходит).
• Подставим n = -1:
• x = (-2 + 1)π/2 = -π/2 (это не подходит, так как мы ищем в промежутке от -3π до -3π/2).

Таким образом, из первого случая мы получили корни:

• x = -5π/2
• x = -3π/2

Теперь рассмотрим второй случай:

• 2cos(x) + √3 = 0
• 2cos(x) = -√3
• cos(x) = -√3/2

Значение cos(x) = -√3/2 соответствует углам:

• x = 5π/6 + 2kπ и x = 7π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь найдем корни в промежутке от -3π до -3π/2:

• Для x = 5π/6: подставим k = -2: x = 5π/6 - 4π/1 = 5π/6 - 24π/6 = -19π/6 (это не подходит).
• Для x = 7π/6: подставим k = -2: x = 7π/6 - 4π/1 = 7π/6 - 24π/6 = -17π/6 (это не подходит).
• Подставим k = -1: x = 5π/6 - 2π = 5π/6 - 12π/6 = -7π/6 (это подходит).
• Подставим k = -1: x = 7π/6 - 2π = 7π/6 - 12π/6 = -5π/6 (это не подходит, так как -5π/6 больше -3π/2).

Таким образом, из второго случая мы получили корни:

• x = -7π/6

Теперь соберем все найденные корни:

• x = -5π/2
• x = -3π/2
• x = -7π/6

Итак, корни уравнения 2sin²(π/2 - x) = -√3cosx в промежутке от -3π до -3π/2:

• x = -5π/2
• x = -3π/2
• x = -7π/6