Пожалуйста, срочнооооо

Как найти предел функции, не применяя правило Лопиталя:

lim arcsin(3x)/(5x) при x, стремящемся к 0?

Математика 11 класс Пределы функций предел функции лимит arcsin 3x 5x x стремится к 0 математика 11 класс Новый

Чтобы найти предел функции lim arcsin(3x)/(5x) при x, стремящемся к 0, мы можем воспользоваться свойствами пределов и разложением функции arcsin(x) в ряд Тейлора.

1. Разложение функции arcsin(x): В окрестности нуля функция arcsin(x) можно разложить в ряд Тейлора:

• arcsin(x) ≈ x + O(x^3), когда x стремится к 0.

2. Применим это разложение к arcsin(3x): Подставим 3x вместо x в разложение:

• arcsin(3x) ≈ 3x + O((3x)^3) = 3x + O(27x^3).

3. Теперь подставим это выражение в предел:

• lim (arcsin(3x)/(5x)) = lim ((3x + O(27x^3))/(5x)).

4. Упростим дробь: Разделим числитель и знаменатель на x:

• lim ((3 + O(27x^2))/5).

5. Теперь найдем предел: Когда x стремится к 0, член O(27x^2) стремится к 0, и мы получаем:

• lim (3/5) = 3/5.

Ответ: Предел lim arcsin(3x)/(5x) при x, стремящемся к 0, равен 3/5.