Чтобы найти значение a, при котором площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^3, y = 0 и вертикальной линией x = a, равна 64, нужно выполнить следующие шаги:

1. Определите границы интегрирования. В данном случае фигура ограничена вертикальной линией x = a, кривой y = x^3 и осью y = 0. Это означает, что мы будем интегрировать от x = 0 до x = a.

2. Запишите выражение для площади фигуры. Площадь под кривой y = x^3 от x = 0 до x = a можно найти с помощью интеграла:

   A = ∫[0 to a] x^3 dx

3. Вычислите интеграл. Найдите неопределенный интеграл функции x^3:

   ∫x^3 dx = (1/4)x^4 + C

   Теперь подставьте пределы интегрирования:

   A = [(1/4)a^4 - (1/4)(0)^4] = (1/4)a^4

4. Поставьте значение площади, равное 64, и решите уравнение:

   (1/4)a^4 = 64

   Умножьте обе стороны уравнения на 4:

   a^4 = 256

   Теперь найдите a, взяв четвертую степень из обеих сторон:

   a = 256^(1/4)

   a = 4

Таким образом, при a = 4 площадь фигуры равна 64.