При каких значениях параметра a один из корней уравнения x^2 + (a + 9) * x + a^2 + 1 = 0 в пять раз больше другого? Укажите наибольшее значение параметра a в ответе.

Математика 11 класс Уравнения с параметрами уравнение корни параметр a математика 11 класс квадратное уравнение Новый

Для решения уравнения x^2 + (a + 9) * x + (a^2 + 1) = 0, при условии, что один из корней в пять раз больше другого, начнем с обозначения корней. Пусть один корень равен r, а другой корень равен 5r.

По теореме Виета, сумма корней уравнения равна -b/a, а произведение корней равно c/a. В нашем случае:

• Сумма корней: r + 5r = 6r = -(a + 9)
• Произведение корней: r * 5r = 5r^2 = a^2 + 1

Теперь выразим r из первого уравнения:

1. 6r = -(a + 9)
   r = - (a + 9) / 6

Подставим это значение r во второе уравнение:

1. 5r^2 = a^2 + 1
   5 * ((- (a + 9) / 6)^2) = a^2 + 1

Упростим левую часть:

1. 5 * ((a + 9)^2 / 36) = a^2 + 1
   (5 * (a + 9)^2) / 36 = a^2 + 1

Теперь умножим обе стороны на 36, чтобы избавиться от дроби:

1. 5 * (a + 9)^2 = 36 * (a^2 + 1)

Распишем обе стороны:

1. 5 * (a^2 + 18a + 81) = 36a^2 + 36

Теперь раскроем скобки:

1. 5a^2 + 90a + 405 = 36a^2 + 36

Переносим все в одну сторону:

1. 0 = 36a^2 - 5a^2 - 90a + 36 - 405

Соберем подобные члены:

1. 0 = 31a^2 - 90a - 369

Теперь у нас есть квадратное уравнение 31a^2 - 90a - 369 = 0. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

1. D = b^2 - 4ac = (-90)^2 - 4 * 31 * (-369)
2. D = 8100 + 45864 = 53964

Теперь найдём корни уравнения:

1. a = (90 ± √53964) / (2 * 31)
2. √53964 ≈ 232.3
3. a1 = (90 + 232.3) / 62 ≈ 5.2
4. a2 = (90 - 232.3) / 62 ≈ -2.3

Таким образом, наибольшее значение параметра a, при котором один корень уравнения в пять раз больше другого, равно:

a = 5.2