При каком значении параметра a уравнение |lg(x+4)|=-x²-2ax-a² имеет решение?

Математика 11 класс Уравнения с параметрами уравнение значение параметра a решение уравнения Логарифмическое уравнение математический анализ 11 класс математика Новый

Рассмотрим уравнение |lg(x+4)| = -x² - 2ax - a². Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо, чтобы правая часть уравнения была неотрицательной, так как модуль всегда неотрицателен.

Таким образом, мы должны решить неравенство:

-x² - 2ax - a² ≥ 0

Это неравенство представляет собой параболу, которая открывается вниз (так как коэффициент при x² отрицательный). Чтобы найти условия, при которых данное неравенство выполняется, найдем его корни. Для этого используем дискриминант:

• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = -1, b = -2a, c = -a².
• Подставим значения: D = (-2a)² - 4*(-1)*(-a²) = 4a² - 4a² = 0.

Дискриминант равен нулю, что означает, что у параболы есть один корень. Найдем его:

• Корень уравнения -x² - 2ax - a² = 0 можно найти по формуле x = -b/2a.
• Подставляем значения: x = -(-2a)/(2*(-1)) = a.

Теперь мы знаем, что парабола касается оси x в точке x = a. Парабола будет неотрицательной для значений x, которые меньше или равны a. Таким образом, чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы:

-x² - 2ax - a² ≥ 0

при x = a:

• Подставим x = a: -a² - 2a² - a² = -4a².
• Неравенство -4a² ≥ 0 выполняется, когда a² ≤ 0.
• Это возможно только при a = 0.

Таким образом, уравнение |lg(x+4)| = -x² - 2ax - a² имеет решение только при a = 0.