Решите следующие уравнения:

1. 2sin²x + sinx - 13 = 0
2. Cos²x + 3sinx - 13 = 0
3. 3tg²x + 2tgx - 13 = 0
4. Tgx - 2ctgx + 13 = 0

По братски!

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнения решение уравнений тригонометрические уравнения математика 11 класс синус косинус тангенс котангенс математические задачи алгебраические уравнения Новый

Давайте решим каждое из данных уравнений по порядку. Начнем с первого уравнения:

1. Уравнение: 2sin²x + sinx - 13 = 0

Это квадратное уравнение относительно sinx. Обозначим sinx как t. Тогда уравнение примет вид:

2t² + t - 13 = 0

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = 1² - 4 * 2 * (-13) = 1 + 104 = 105.

Теперь находим корни уравнения:

• t1 = (-b + √D) / (2a) = (-1 + √105) / 4.
• t2 = (-b - √D) / (2a) = (-1 - √105) / 4.

Теперь подставим значения t1 и t2 обратно в sinx:

sinx = t1 и sinx = t2. Необходимо проверить, подходят ли эти значения для функции sin, которая находится в диапазоне от -1 до 1.

2. Уравнение: Cos²x + 3sinx - 13 = 0

Используем основное тригонометрическое тождество: cos²x = 1 - sin²x. Обозначим sinx как t:

1 - t² + 3t - 13 = 0

Приведем уравнение к стандартному виду:

-t² + 3t - 12 = 0

Умножим на -1:

t² - 3t + 12 = 0

Находим дискриминант:

• D = (-3)² - 4 * 1 * 12 = 9 - 48 = -39.

Поскольку дискриминант отрицательный, у этого уравнения нет действительных корней.

3. Уравнение: 3tg²x + 2tgx - 13 = 0

Обозначим tgx как u:

3u² + 2u - 13 = 0

Находим дискриминант:

• D = 2² - 4 * 3 * (-13) = 4 + 156 = 160.

Теперь находим корни:

• u1 = (-2 + √160) / (2 * 3),
• u2 = (-2 - √160) / (2 * 3).

После нахождения корней, подставим их обратно в tgx и найдем значения x.

4. Уравнение: Tgx - 2ctgx + 13 = 0

Здесь используем соотношение ctgx = 1/tgx. Обозначим tgx как u:

u - 2(1/u) + 13 = 0

Умножим обе стороны на u (при условии, что u ≠ 0):

u² - 2 + 13u = 0

u² + 13u - 2 = 0

Находим дискриминант:

• D = 13² - 4 * 1 * (-2) = 169 + 8 = 177.

Теперь находим корни:

• u1 = (-13 + √177) / 2,
• u2 = (-13 - √177) / 2.

После нахождения корней, подставим их обратно в tgx, чтобы найти значения x.

Таким образом, мы разобрали все уравнения. Для каждого уравнения необходимо находить значения x, используя арктангенс и учитывая периодичность тригонометрических функций.