Давайте решим уравнение:

(2sin²x - sinx) / (2cosx - √3) = 0

Чтобы дробь равнялась нулю, необходимо, чтобы числитель равнялся нулю, при этом знаменатель не должен равняться нулю. Начнем с числителя:

Шаг 1: Решение числителя

Решим уравнение:

2sin²x - sinx = 0

Мы можем вынести sinx за скобки:

sinx (2sinx - 1) = 0

Теперь у нас есть два множителя, и мы можем решить каждое из уравнений:

• sinx = 0
• 2sinx - 1 = 0

Решение первого уравнения:

sinx = 0

Синус равен нулю в точках:

x = kπ, где k - целое число.

Решение второго уравнения:

2sinx - 1 = 0

2sinx = 1

sinx = 1/2

Синус равен 1/2 в точках:

x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Шаг 2: Объединение решений

Теперь у нас есть следующие решения:

• x = kπ (где k - целое число)
• x = π/6 + 2kπ
• x = 5π/6 + 2kπ

Шаг 3: Условия для знаменателя

Теперь проверим, чтобы знаменатель не равнялся нулю:

2cosx - √3 ≠ 0

2cosx ≠ √3

cosx ≠ √3/2

Косинус равен √3/2 в точках:

x = π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ.

Шаг 4: Поиск корней на отрезке [3π/2; 3π]

Теперь найдем все корни из наших решений на отрезке [3π/2; 3π].

• Решение sinx = 0: x = 3π (k = 3).
• Решение sinx = 1/2: x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ.
  • Для k = 0: π/6 не входит в отрезок [3π/2; 3π].
  • Для k = 1: π/6 + 2π = 13π/6 не входит в отрезок.
  • Для k = 0: 5π/6 не входит в отрезок [3π/2; 3π].
  • Для k = 1: 5π/6 + 2π = 17π/6 не входит в отрезок.

Таким образом, единственным корнем уравнения на отрезке [3π/2; 3π] является:

Ответ: x = 3π.