Решите уравнение Tg^2x - 3/cosx + 3 = 0, если корни принадлежат отрезку [-3п; -3п/2].

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение tg^2x cosX корни отрезок [-3п; -3п/2] решение математика Тригонометрия алгебра Новый

Для решения уравнения Tg^2x - 3/cosx + 3 = 0 начнем с преобразования его в более удобный вид. Мы знаем, что тангенс можно выразить через синус и косинус:

Tg(x) = sin(x) / cos(x)

Таким образом, Tg^2(x) = sin^2(x) / cos^2(x). Подставим это в уравнение:

sin^2(x) / cos^2(x) - 3/cos(x) + 3 = 0

Умножим все части уравнения на cos^2(x), чтобы избавиться от дробей (при условии, что cos(x) ≠ 0):

sin^2(x) - 3cos(x) + 3cos^2(x) = 0

Заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x) (по формуле Пифагора):

(1 - cos^2(x)) - 3cos(x) + 3cos^2(x) = 0

Упростим уравнение:

1 - cos^2(x) - 3cos(x) + 3cos^2(x) = 0

2cos^2(x) - 3cos(x) + 1 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно cos(x). Применим формулу для решения квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 2, b = -3, c = 1. Подставим значения:

cos(x) = (3 ± √((-3)^2 - 4*2*1)) / (2*2)

cos(x) = (3 ± √(9 - 8)) / 4

cos(x) = (3 ± 1) / 4

Таким образом, мы получаем два значения:

• cos(x) = 1
• cos(x) = 1/2

Теперь найдем соответствующие значения x.

1. Для cos(x) = 1:

• Решение: x = 2kπ, где k – целое число.

2. Для cos(x) = 1/2:

• Решения: x = ±π/3 + 2kπ, где k – целое число.

Теперь мы должны найти корни в заданном интервале [-3π; -3π/2].

Рассмотрим каждое из решений:

1. x = 2kπ:

• Для k = -2: x = -4π (не входит в интервал)
• Для k = -1: x = -2π (не входит в интервал)
• Для k = 0: x = 0 (не входит в интервал)

2. x = ±π/3 + 2kπ:

• Для k = -2: x = -4π/3 (входит в интервал)
• Для k = -1: x = -π/3 (не входит в интервал)
• Для k = 0: x = π/3 (не входит в интервал)

Таким образом, единственным корнем уравнения в заданном интервале является x = -4π/3.

Ответ: x = -4π/3.