Решите уравнение Tg^2x - 3/cosx + 3 = 0, где корни принадлежат отрезку [-3п; -3п/2].

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение математика tg^2x cosX корни отрезок решение уравнения Тригонометрия анализ интервал Новый

Для решения уравнения Tg^2x - 3/cosx + 3 = 0 начнем с преобразования его в более удобный вид.

Заменим тангенс через синус и косинус:

• Tg^2x = (sin^2x)/(cos^2x)

Подставляя это в уравнение, получаем:

(sin^2x)/(cos^2x) - 3/cosx + 3 = 0

Умножим все уравнение на cos^2x (при условии, что cosx ≠ 0), чтобы избавиться от дробей:

sin^2x - 3cosx + 3cos^2x = 0

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

sin^2x + cos^2x = 1

Отсюда sin^2x = 1 - cos^2x. Подставим это в уравнение:

(1 - cos^2x) - 3cosx + 3cos^2x = 0

Упрощая, получаем:

1 - cos^2x + 3cos^2x - 3cosx = 0

2cos^2x - 3cosx + 1 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно cosx. Применим формулу для решения квадратного уравнения:

ax^2 + bx + c = 0, где a = 2, b = -3, c = 1.

Находим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1

Теперь находим корни уравнения:

• cosx1 = (3 + √D) / (2a) = (3 + 1) / 4 = 4 / 4 = 1
• cosx2 = (3 - √D) / (2a) = (3 - 1) / 4 = 2 / 4 = 0.5

Теперь найдем углы, соответствующие этим значениям косинуса:

• cosx1 = 1 соответствует x = 0, но это значение не входит в наш интервал [-3π; -3π/2].
• cosx2 = 0.5 соответствует углам x = π/3 + 2kπ и x = -π/3 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь подберем значения k так, чтобы найти корни в заданном интервале:

• Для x = π/3 + 2kπ:
• k = -3: x = π/3 - 6π = -17π/3 (не подходит)
• k = -2: x = π/3 - 4π = -11π/3 (не подходит)
• k = -1: x = π/3 - 2π = -5π/3 (не подходит)
• k = 0: x = π/3 (не подходит)
• Для x = -π/3 + 2kπ:
• k = -3: x = -π/3 - 6π = -19π/3 (не подходит)
• k = -2: x = -π/3 - 4π = -13π/3 (не подходит)
• k = -1: x = -π/3 - 2π = -7π/3 (не подходит)
• k = 0: x = -π/3 (подходит)

Таким образом, единственный корень уравнения в заданном интервале [-3π; -3π/2]:

x = -π/3