Похожие вопросы
2025-12-02 07:09:13
Сколько различных корней уравнения sin 3x + sin 7x = 2 sin 5x на промежутке [0; π]?
Варианты ответов:
- 1) 5;
- 2) 6;
- 3) 7;
- 4) 8;
- 5) 9.
Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение корни sin 3x 7x 5x промежуток [0; π] математика 11 класс Новый
2025-12-02 07:09:35
Чтобы найти количество различных корней уравнения sin 3x + sin 7x = 2 sin 5x на промежутке [0; π], начнем с преобразования левой части уравнения.
Используем формулу для суммы синусов:
- sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A - B)/2)
В нашем случае A = 7x и B = 3x. Подставим эти значения в формулу:
- sin 3x + sin 7x = 2 sin((3x + 7x)/2) cos((7x - 3x)/2) = 2 sin(5x) cos(2x)
Теперь подставим это в уравнение:
2 sin(5x) cos(2x) = 2 sin(5x)
Сократим обе стороны на 2 (при условии, что sin(5x) не равно 0):
sin(5x) cos(2x) = sin(5x)
Теперь у нас есть два случая:
- sin(5x) = 0
- cos(2x) = 1
Рассмотрим первый случай:
Для sin(5x) = 0 мы знаем, что синус равен нулю, когда его аргумент равен nπ, где n - целое число. Таким образом:
5x = nπ
Отсюда:
x = nπ/5
Теперь найдем значения n, чтобы x находился в пределах [0; π]:
- n = 0: x = 0
- n = 1: x = π/5
- n = 2: x = 2π/5
- n = 3: x = 3π/5
- n = 4: x = 4π/5
- n = 5: x = π
Итак, из первого случая у нас есть 6 корней: 0, π/5, 2π/5, 3π/5, 4π/5, π.
Теперь рассмотрим второй случай:
Для cos(2x) = 1, косинус равен 1, когда его аргумент равен 2kπ, где k - целое число. Таким образом:
2x = 2kπ
Отсюда:
x = kπ
На промежутке [0; π] возможны следующие значения k:
- k = 0: x = 0
- k = 1: x = π
Таким образом, из второго случая у нас есть 2 корня: 0 и π. Эти значения уже учтены в первом случае.
Теперь подведем итог:
Общее количество различных корней у уравнения sin 3x + sin 7x = 2 sin 5x на промежутке [0; π] составляет 6.
Следовательно, правильный ответ - 2) 6.