Срочно)) Как можно решить интеграл: sin(2x)/cos^7(x) ?

Математика 11 класс Интегралы интеграл sin(2x) интеграл cos^7(x) решение интеграла математика 11 класс интегралы в математике Новый

Чтобы решить интеграл ∫ sin(2x) / cos^7(x) dx, мы можем использовать некоторые тригонометрические преобразования и методы интегрирования. Давайте разберем шаги решения.

1. Используем тригонометрическую идентичность: Сначала заметим, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Это позволит нам упростить интеграл:
   • Подставляем: ∫ sin(2x) / cos^7(x) dx = ∫ (2sin(x)cos(x)) / cos^7(x) dx.
   • Это можно упростить до: ∫ 2sin(x) / cos^6(x) dx.
2. Преобразуем интеграл: Теперь у нас есть интеграл, который можно записать как: ∫ 2sin(x) / cos^6(x) dx = 2 ∫ sin(x) / cos^6(x) dx.
   • Мы можем использовать замену переменной: пусть u = cos(x), тогда du = -sin(x) dx, или sin(x) dx = -du.
3. Заменяем переменные в интеграле: Подставим u в наш интеграл:
   • Тогда ∫ sin(x) / cos^6(x) dx = -∫ 1/u^6 du.
4. Решаем интеграл: Интеграл ∫ 1/u^6 du можно решить следующим образом:
   • ∫ u^(-6) du = u^(-5) / -5 + C = -1/(5u^5) + C.
5. Возвращаемся к исходной переменной: Теперь подставим обратно u = cos(x):
   • Получаем: -1/(5cos^5(x)) + C.

Таким образом, окончательный ответ на интеграл ∫ sin(2x) / cos^7(x) dx будет:

-1/(5cos^5(x)) + C