Срочно нужна ваша помощь! Как решить уравнение 3sinx - 4cosx = 5?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение математика 11 класс решение Тригонометрия синус косинус алгебра задачи помощь Новый

Давайте решим уравнение 3sin(x) - 4cos(x) = 5 шаг за шагом.

Шаг 1: Изолируем одну из тригонометрических функций.

Сначала мы можем попробовать выразить одну из тригонометрических функций через другую. В данном случае давайте выразим sin(x):

3sin(x) = 5 + 4cos(x)

sin(x) = (5 + 4cos(x)) / 3

Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество.

Мы знаем, что sin²(x) + cos²(x) = 1. Подставим выражение для sin(x) в это тождество:

[(5 + 4cos(x)) / 3]² + cos²(x) = 1

Шаг 3: Упростим уравнение.

Теперь упростим его:

1. Квадратируем первое слагаемое:

[(5 + 4cos(x))² / 9] + cos²(x) = 1

2. Раскроем скобки:

(25 + 40cos(x) + 16cos²(x)) / 9 + cos²(x) = 1

3. Умножим все на 9, чтобы избавиться от дроби:

25 + 40cos(x) + 16cos²(x) + 9cos²(x) = 9

4. Соберем подобные слагаемые:

25 + 40cos(x) + 25cos²(x) - 9 = 0

25cos²(x) + 40cos(x) + 16 = 0

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение.

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

25cos²(x) + 40cos(x) + 16 = 0

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

cos(x) = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 25, b = 40, c = 16.

Вычисляем дискриминант:

D = b² - 4ac = 40² - 4 * 25 * 16 = 1600 - 1600 = 0

Так как D = 0, у нас есть один корень:

cos(x) = -40 / (2 * 25) = -40 / 50 = -0.8

Шаг 5: Находим значение x.

Теперь, когда мы нашли cos(x), мы можем найти x:

x = arccos(-0.8)

Это значение можно найти с помощью калькулятора. Приблизительно:

x ≈ 2.498 (в радианах) или x ≈ 143.13° (в градусах).

Шаг 6: Учитываем периодичность тригонометрической функции.

Так как косинус имеет период 2π, общее решение будет:

x = 2.498 + 2kπ или x = -2.498 + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, мы нашли решение уравнения 3sin(x) - 4cos(x) = 5. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!