Статистика! Помогите, пожалуйста!

Методом случайной бесповторной выборки было обследовано 150 студентов дневного отделения одного из ВУЗов. Доля студентов, совмещающих работу и учебу, по данным выборки, 30%. Какова вероятность того, что ошибка доли студентов дневного отделения этого ВУЗа, работающих в течение учебного года, не превысит 5%?

Математика 11 класс Статистика вероятность ошибки доля студентов выборка статистика математика 11 класс работа и учеба случайная выборка учебный год Новый

Для решения этой задачи нам нужно использовать теорему о центральной предельной теореме и формулы для оценки вероятности ошибки выборки.

Шаг 1: Определим известные данные.

• Объем выборки (n) = 150 студентов.
• Доля студентов, совмещающих работу и учебу (p) = 30% = 0.30.
• Допустимая ошибка (E) = 5% = 0.05.

Шаг 2: Найдем стандартную ошибку выборки.

Стандартная ошибка (SE) для доли рассчитывается по формуле:

SE = sqrt((p * (1 - p)) / n),

где p - доля, n - объем выборки.

Подставим наши значения:

• p = 0.30
• 1 - p = 0.70
• n = 150

Теперь подставим в формулу:

SE = sqrt((0.30 * 0.70) / 150) = sqrt(0.21 / 150) = sqrt(0.0014) ≈ 0.0374.

Шаг 3: Найдем границы доверительного интервала.

Для того чтобы ошибка не превышала 5%, необходимо, чтобы разница между истинной долей и долей в выборке не превышала 5%. Это означает, что мы можем использовать z-значение для 95% доверительного интервала, которое составляет примерно 1.96.

Теперь найдем границы:

• Нижняя граница = p - E = 0.30 - 0.05 = 0.25.
• Верхняя граница = p + E = 0.30 + 0.05 = 0.35.

Шаг 4: Находим вероятность того, что ошибка не превысит 5%.

Теперь мы можем использовать стандартное нормальное распределение, чтобы найти вероятность того, что истинная доля студентов, работающих и обучающихся, находится в пределах от 0.25 до 0.35.

Для этого мы можем вычислить z-значения:

• z1 = (0.25 - 0.30) / SE = (0.25 - 0.30) / 0.0374 ≈ -1.34.
• z2 = (0.35 - 0.30) / SE = (0.35 - 0.30) / 0.0374 ≈ 1.34.

Теперь мы можем воспользоваться таблицей стандартного нормального распределения, чтобы найти вероятности для z1 и z2.

Шаг 5: Ищем вероятности в таблице.

• P(z1 < -1.34) ≈ 0.0901.
• P(z2 < 1.34) ≈ 0.9099.

Шаг 6: Находим общую вероятность.

Теперь мы можем найти вероятность того, что ошибка не превысит 5%:

P(-1.34 < z < 1.34) = P(z < 1.34) - P(z < -1.34) = 0.9099 - 0.0901 = 0.8198.

Ответ: Вероятность того, что ошибка доли студентов дневного отделения этого ВУЗа, работающих в течение учебного года, не превысит 5%, составляет примерно 81.98%.