Существует ли такой многочлен Р(х), что для любого вещественного числа а многочлен P(x) - P(a) делится на x + a?

Ответ обоснуйте.

Математика 11 класс Многочлены и их свойства многочлен P(x) делимость многочлена вещественные числа свойства многочленов алгебраические выражения Новый

Чтобы ответить на вопрос, рассмотрим многочлен P(x) и его свойства. Мы хотим выяснить, существует ли такой многочлен P(x), что для любого вещественного числа a многочлен P(x) - P(a) делится на (x + a).

Для начала вспомним, что если многочлен Q(x) делится на (x + a), это означает, что (x + a) является корнем многочлена Q(x). В нашем случае многочлен Q(x) равен P(x) - P(a). Таким образом, мы хотим, чтобы:

Q(-a) = P(-a) - P(a) = 0.

Это указывает на то, что P(-a) должно быть равно P(a) для любого вещественного числа a. Это условие можно интерпретировать следующим образом:

• Если P(a) = P(-a), значит, P(x) является четным многочленом.
• Четные многочлены имеют вид P(x) = c * x^n, где n - четное число, а c - константа.

Однако, если P(x) - четный многочлен, то для любого a выполняется равенство P(a) = P(-a). Это действительно выполняется для любых вещественных a.

Теперь давайте рассмотрим, существует ли многочлен, который не является четным, но удовлетворяет этому условию. Например, если P(x) - это многочлен, содержащий нечетные степени, то для такого многочлена P(a) и P(-a) будут различаться, и условие P(a) = P(-a) не выполнится.

Таким образом, единственным вариантом, который удовлетворяет условию делимости для любого a, является четный многочлен. Поэтому, мы можем сделать вывод:

Ответ: Существует множество многочленов P(x), которые являются четными, и для них выполняется условие, что P(x) - P(a) делится на (x + a) для любого вещественного числа a.