Существуют ли такие x, при которых

sin(5x) + cos(5x) = 1,5?

Ответ: нет, но нужно решить с помощью введения вспомогательного аргумента.

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения математика 11 класс уравнение sin cos решение тригонометрических уравнений вспомогательный аргумент существование решений Новый

Давайте решим уравнение sin(5x) + cos(5x) = 1,5 с помощью введения вспомогательного аргумента.

1. Введем вспомогательный аргумент. Обозначим:

• y = sin(5x) + cos(5x)

2. Мы знаем, что для любого угла a справедливо следующее:

• sin(a) + cos(a) = √2 * sin(a + π/4)

Таким образом, можно выразить y через sin:

• y = √2 * sin(5x + π/4)

3. Теперь найдем максимальное и минимальное значения функции sin. Поскольку sin(a) принимает значения в интервале от -1 до 1, то:

• min(y) = -√2
• max(y) = √2

4. Теперь вычислим значение √2:

• √2 ≈ 1.414

5. Таким образом, мы имеем:

• -√2 ≤ y ≤ √2

6. Поскольку мы ищем решение для y = 1,5, давайте сравним это значение с найденными границами:

• 1,5 > √2 ≈ 1.414

7. Это означает, что значение 1,5 выходит за пределы максимума функции y = sin(5x) + cos(5x).

Таким образом, мы можем заключить, что уравнение sin(5x) + cos(5x) = 1,5 не имеет решений, поскольку 1,5 не входит в диапазон возможных значений функции.