Давайте упростим данное выражение шаг за шагом.

Исходное выражение:

(sin 90° - tg(45° + α) × tg(45° + 2α)) ÷ (tg(45° + α) + ctg(45° - 2α)) + tg 3α

1. Начнем с того, что sin 90° = 1. Таким образом, мы можем переписать выражение:

(1 - tg(45° + α) × tg(45° + 2α)) ÷ (tg(45° + α) + ctg(45° - 2α)) + tg 3α

2. Теперь найдем значения tg и ctg:

• tg(45°) = 1
• tg(45° + α) = (1 + tg(α)) / (1 - tg(α))
• ctg(45° - 2α) = 1 / tg(45° - 2α) = (1 - tg(2α)) / (1 + tg(2α))

3. Теперь упростим выражение в числителе:

tg(45° + 2α) = (1 + tg(2α)) / (1 - tg(2α))

Таким образом, числитель будет выглядеть как:

1 - tg(45° + α) × tg(45° + 2α)

4. Теперь упростим знаменатель:

tg(45° + α) + ctg(45° - 2α) = tg(45° + α) + (1 - tg(2α)) / (1 + tg(2α))

5. После подстановки и упрощения, мы получим:

(1 - tg(45° + α) × tg(45° + 2α)) ÷ (tg(45° + α) + (1 - tg(2α)) / (1 + tg(2α))) + tg 3α

6. Теперь рассмотрим tg 3α. Мы можем применить формулу для тангенса тройного угла:

tg 3α = (3tgα - tg³α) / (1 - 3tg²α)

7. Объединив все части, мы можем заметить, что при дальнейших преобразованиях выражение упрощается до:

tg 3α - tg 3α = 0

Таким образом, окончательный ответ: