Вариант №2. Найдите решения следующих уравнений:

1. a) ctg²x - ctgx = 0
2. 6) tg²x - 3tgx + 2 = 0
3. b) 4 - 5cosx - 2sin²x = 0

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнения математика 11 класс ctg²x ctgx tg²x 3tgx 2 4 5cosx 2sin²x решения тригонометрических уравнений Новый

Давайте решим предложенные уравнения по порядку, начиная с первого.

a) ctg²x - ctgx = 0

Это уравнение можно упростить. Мы можем вынести общий множитель:

1. ctg²x - ctgx = ctgx (ctgx - 1) = 0

Теперь у нас есть два возможных случая:

• 1) ctgx = 0
• 2) ctgx - 1 = 0, то есть ctgx = 1

Рассмотрим первый случай:

• ctgx = 0, что означает, что tgx = бесконечность. Это происходит, когда x = π/2 + kπ, где k - целое число.

Теперь второй случай:

• ctgx = 1, что означает, что tgx = 1. Это происходит, когда x = π/4 + kπ, где k - целое число.

Таким образом, решения для данного уравнения:

x = π/2 + kπ и x = π/4 + kπ, где k - целое число.

b) 4 - 5cosx - 2sin²x = 0

Сначала заменим sin²x на 1 - cos²x, используя основное тригонометрическое тождество:

1. 4 - 5cosx - 2(1 - cos²x) = 0
2. 4 - 5cosx - 2 + 2cos²x = 0
3. 2cos²x - 5cosx + 2 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно cosx. Мы можем использовать формулу дискриминанта:

1. D = b² - 4ac = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9

Теперь находим корни уравнения:

1. cosx = (5 ± √9) / (2 * 2) = (5 ± 3) / 4

Это дает два значения:

• cosx = 2 и cosx = 0.5

Рассмотрим каждое значение:

• cosx = 2: не имеет решений, так как косинус не может быть больше 1.
• cosx = 0.5: это происходит при x = π/3 + 2kπ и x = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, решения для второго уравнения:

x = π/3 + 2kπ и x = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.

6) tg²x - 3tgx + 2 = 0

Это также квадратное уравнение, которое можно решить по аналогии с предыдущим:

1. Обозначим tgx = t. Тогда уравнение принимает вид: t² - 3t + 2 = 0.

Находим дискриминант:

1. D = (-3)² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1

Теперь находим корни уравнения:

1. t = (3 ± √1) / 2 = (3 ± 1) / 2.

Это дает два значения:

• t = 2 и t = 1.

Теперь вернемся к tgx:

• tgx = 2: это происходит при x = arctg(2) + kπ, где k - целое число.
• tgx = 1: это происходит при x = π/4 + kπ, где k - целое число.

Таким образом, решения для третьего уравнения:

x = arctg(2) + kπ и x = π/4 + kπ, где k - целое число.

Теперь у нас есть все решения для предложенных уравнений!