Для вычисления интеграла ∫(6x² + 22x - 23) / ((2x - 1)(x² + x - 6)) dx с помощью разложения на элементарные дроби, начнем с разложения знаменателя.

Первым делом, разложим квадратный трехчлен x² + x - 6 на множители. Найдем корни уравнения x² + x - 6 = 0:

• Используем формулу для нахождения корней: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 1, c = -6.
• Находим дискриминант: D = 1² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25.
• Корни: x = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5) / 2. Это дает корни x₁ = 2 и x₂ = -3.

Таким образом, x² + x - 6 = (x - 2)(x + 3). Теперь можем записать полный знаменатель:

(2x - 1)(x - 2)(x + 3).

Теперь запишем дробь в виде суммы элементарных дробей:

(6x² + 22x - 23) / ((2x - 1)(x - 2)(x + 3)) = A/(2x - 1) + B/(x - 2) + C/(x + 3),

где A, B и C — это константы, которые нам нужно найти.

Умножим обе стороны на знаменатель (2x - 1)(x - 2)(x + 3):

6x² + 22x - 23 = A(x - 2)(x + 3) + B(2x - 1)(x + 3) + C(2x - 1)(x - 2).

Теперь подберем значения для A, B и C. Для этого удобно подставить такие значения x, которые упростят расчет:

1. Подставим x = 1/2 (это корень первого множителя):
2. 6(1/2)² + 22(1/2) - 23 = A(1/2 - 2)(1/2 + 3).
3. Вычисляем: 6(1/4) + 11 - 23 = A(-3/2)(7/2) → 1.5 = -A(10.5) → A = -1/7.

4. Подставим x = 2 (это корень второго множителя):
5. 6(2)² + 22(2) - 23 = B(2(2) - 1)(2 + 3).
6. Вычисляем: 24 + 44 - 23 = B(3)(5) → 45 = 15B → B = 3.

7. Подставим x = -3 (это корень третьего множителя):
8. 6(-3)² + 22(-3) - 23 = C(2(-3) - 1)(-3 - 2).
9. Вычисляем: 54 - 66 - 23 = C(-7)(-5) → -35 = 35C → C = -1.

Теперь мы нашли A, B и C:

• A = -1/7
• B = 3
• C = -1

Таким образом, разложение выглядит так:

(6x² + 22x - 23) / ((2x - 1)(x - 2)(x + 3)) = -1/7(1/(2x - 1)) + 3/(x - 2) - 1/(x + 3).

Теперь можем интегрировать каждую дробь по отдельности:

∫(-1/7) / (2x - 1) dx + ∫3 / (x - 2) dx - ∫1 / (x + 3) dx.

Решаем интегралы:

• ∫(-1/7) / (2x - 1) dx = -1/14 * ln|2x - 1| + C₁
• ∫3 / (x - 2) dx = 3 * ln|x - 2| + C₂
• ∫-1 / (x + 3) dx = -ln|x + 3| + C₃

Собираем все вместе:

∫(6x² + 22x - 23) / ((2x - 1)(x² + x - 6)) dx = -1/14 * ln|2x - 1| + 3 * ln|x - 2| - ln|x + 3| + C.

Где C = C₁ + C₂ + C₃ — произвольная константа интегрирования.