Вычислите интеграл ∫[-2;3] (4x^3-3x^2+2x+1)dx

Математика 11 класс Интегралы интеграл вычисление интеграла математика интеграл от многочлена определенный интеграл Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл ∫[-2;3] (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1)dx, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти первообразную функции. Для этого мы интегрируем каждое слагаемое функции по отдельности:
• Первообразная от 4x^3: (4/4)x^4 = x^4
• Первообразная от -3x^2: (-3/3)x^3 = -x^3
• Первообразная от 2x: (2/2)x^2 = x^2
• Первообразная от 1: x
2. Соберем все первообразные вместе:

Таким образом, первообразная функции 4x^3 - 3x^2 + 2x + 1 будет равна:

F(x) = x^4 - x^3 + x^2 + x + C, где C - произвольная константа.

3. Вычислить определенный интеграл: Теперь мы подставим пределы интегрирования в найденную первообразную:

∫[-2;3] (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1)dx = F(3) - F(-2)

4. Подсчитаем F(3):

F(3) = 3^4 - 3^3 + 3^2 + 3 = 81 - 27 + 9 + 3 = 66

5. Теперь подсчитаем F(-2):

F(-2) = (-2)^4 - (-2)^3 + (-2)^2 + (-2) = 16 + 8 + 4 - 2 = 26

6. Вычислим разность:

Теперь мы можем найти значение определенного интеграла:

F(3) - F(-2) = 66 - 26 = 40

Ответ: Значение интеграла ∫[-2;3] (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1)dx равно 40.