Похожие вопросы
2025-11-10 22:36:13
Вычислите неопределенный и определенный интегралы методом непосредственного интегрирования: 1) ∫ (12x⁵ + 3 - 2√(x⁴) + 4/x⁴)dx
Математика 11 класс Интегралы неопределенный интеграл определенный интеграл метод непосредственного интегрирования математический анализ интегрирование функций
2025-11-10 22:36:27
Давайте вычислим неопределенный интеграл ∫ (12x⁵ + 3 - 2√(x⁴) + 4/x⁴)dx методом непосредственного интегрирования. Для начала, упростим подынтегральное выражение.
Обратите внимание, что √(x⁴) можно переписать как x², и 4/x⁴ можно записать как 4x^(-4). Таким образом, подынтегральное выражение можно переписать так:
- 12x⁵ + 3 - 2x² + 4x^(-4)
Теперь мы можем интегрировать каждое слагаемое отдельно:
- ∫ 12x⁵ dx = 12 * (x^(5+1) / (5+1)) = 12 * (x^6 / 6) = 2x^6
- ∫ 3 dx = 3x
- ∫ -2x² dx = -2 * (x^(2+1) / (2+1)) = -2 * (x^3 / 3) = -2/3 x^3
- ∫ 4x^(-4) dx = 4 * (x^(-4+1) / (-4+1)) = 4 * (x^(-3) / -3) = -4/3 x^(-3)
Теперь, объединим все найденные интегралы:
∫ (12x⁵ + 3 - 2√(x⁴) + 4/x⁴)dx = 2x^6 + 3x - 2/3 x^3 - 4/3 x^(-3) + C, где C - произвольная константа интегрирования.
Таким образом, окончательный ответ на неопределенный интеграл:
2x^6 + 3x - 2/3 x^3 - 4/3 x^(-3) + C