Задача состоит из двух частей:

1. Найдите решение уравнения 3cos(2x) - 5sin(x) + 1 = 0.
2. Определите все корни этого уравнения, которые находятся в пределах отрезка [π; 5π/2].

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение 3cos(2x) - 5sin(x) + 1 = 0 решение уравнения корни уравнения предел отрезка [π; 5π/2] математика 11 класс Новый

Давайте решим уравнение 3cos(2x) - 5sin(x) + 1 = 0. Для начала, вспомним, что косинус можно выразить через синус с помощью тригонометрической формулы:

Шаг 1: Преобразование косинуса.

Используем формулу двойного угла для косинуса:

cos(2x) = 1 - 2sin²(x).

Подставим это в уравнение:

3(1 - 2sin²(x)) - 5sin(x) + 1 = 0.

Раскроем скобки:

3 - 6sin²(x) - 5sin(x) + 1 = 0.

Соберем все члены в одно уравнение:

-6sin²(x) - 5sin(x) + 4 = 0.

Умножим уравнение на -1 для удобства:

6sin²(x) + 5sin(x) - 4 = 0.

Шаг 2: Решение квадратного уравнения.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Используем формулу корней квадратного уравнения:

sin(x) = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 6, b = 5, c = -4.

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 5² - 4 * 6 * (-4) = 25 + 96 = 121.

Теперь найдем корни:

sin(x) = (-5 ± √121) / (2 * 6).

√121 = 11, подставляем:

sin(x) = (-5 + 11) / 12 = 6 / 12 = 0.5

sin(x) = (-5 - 11) / 12 = -16 / 12 = -4/3 (такой корень не подходит, так как синус не может быть больше 1 или меньше -1).

Таким образом, мы имеем только один корень: sin(x) = 0.5.

Шаг 3: Находим x.

Теперь найдем углы, для которых sin(x) = 0.5:

• x = π/6 + 2kπ (где k - целое число)
• x = 5π/6 + 2kπ (где k - целое число)

Шаг 4: Находим корни на отрезке [π; 5π/2].

Теперь определим все корни, которые находятся в пределах отрезка [π; 5π/2].

Подставим k = 0:

• x = π/6 (не подходит, так как меньше π)
• x = 5π/6 (не подходит, так как меньше π)

Подставим k = 1:

• x = π/6 + 2π = 13π/6 (это больше 5π/2)
• x = 5π/6 + 2π = 17π/6 (это больше 5π/2)

Подставим k = -1:

• x = π/6 - 2π = -11π/6 (не подходит, так как меньше π)
• x = 5π/6 - 2π = -7π/6 (не подходит, так как меньше π)

Подставим k = 0:

• x = π/6 + 2π = 13π/6 (это больше 5π/2)
• x = 5π/6 + 2π = 17π/6 (это больше 5π/2)

Подставим k = 1:

• x = π/6 + 2π = 13π/6 (это больше 5π/2)
• x = 5π/6 + 2π = 17π/6 (это больше 5π/2)

Таким образом, единственный корень уравнения на отрезке [π; 5π/2] - это:

• x = 7π/6.

Итак, ответ: x = 7π/6.