Давайте решим задачу поэтапно. Мы начнем с нахождения необходимых параметров для треугольника ABC с заданными координатами вершин.

Координаты вершин:

• A(5; 1; 1)
• B(1; 1; 1)
• C(3; -1; 2)

1. Найдем координаты вектора AB:

Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки B из координат точки A:

• AB = B - A = (x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1) = (1 - 5; 1 - 1; 1 - 1) = (-4; 0; 0)

2. Найдем координаты вектора AC:

• AC = C - A = (x3 - x1; y3 - y1; z3 - z1) = (3 - 5; -1 - 1; 2 - 1) = (-2; -2; 1)

3. Найдем длину вектора AB:

Длину вектора можно найти по формуле:

||AB|| = √((-4)² + 0² + 0²) = √(16) = 4

4. Найдем координаты точки D – середины стороны BC:

Координаты середины отрезка можно найти по формуле:

• D(x0; y0; z0) = ((x2 + x3) / 2; (y2 + y3) / 2; (z2 + z3) / 2)

Подставим значения:

• D = ((1 + 3) / 2; (1 - 1) / 2; (1 + 2) / 2) = (2; 0; 1.5)

5. Найдем косинус угла A:

Косинус угла A можно найти с помощью скалярного произведения векторов AB и AC:

cos(A) = (AB * AC) / (||AB|| * ||AC||)

Сначала найдем скалярное произведение:

• AB * AC = (-4) * (-2) + 0 * (-2) + 0 * 1 = 8

Теперь найдем длину вектора AC:

||AC|| = √((-2)² + (-2)² + 1²) = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3

Теперь подставим значения в формулу:

cos(A) = 8 / (4 * 3) = 8 / 12 = 2/3

6. Найдем площадь треугольника ABC:

Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 0.5 * ||AB x AC||

Сначала найдем векторное произведение AB и AC:

• AB x AC = |i j k|
• |-4 0 0|
• |-2 -2 1|

Вычисляем детерминант:

• i(0*1 - 0*(-2)) - j(-4*1 - 0*(-2)) + k(-4*(-2) - 0*(-2))
• = 0i + 4j + 8k

Таким образом, векторное произведение равно (0; 4; 8).

Теперь найдем длину этого вектора:

||AB x AC|| = √(0² + 4² + 8²) = √(0 + 16 + 64) = √80 = 4√5

Теперь подставляем в формулу площади:

Площадь = 0.5 * 4√5 = 2√5

Итак, мы нашли все необходимые параметры:

• Координаты вектора AB: (-4; 0; 0)
• Длина вектора AB: 4
• Координаты точки D (середины BC): (2; 0; 1.5)
• Косинус угла A: 2/3
• Площадь треугольника ABC: 2√5

Чертеж:

К сожалению, я не могу предоставить чертеж, но вы можете нарисовать его на координатной плоскости, отметив точки A, B и C, а затем провести линии между ними, а также отметить точку D на отрезке BC.