Чтобы решить уравнение sin 4x - √3 cos 2x = 0, начнем с преобразования его в более удобный вид.

Перепишем уравнение:

• sin 4x = √3 cos 2x

Теперь воспользуемся формулой для синуса двойного угла. Мы знаем, что:

• sin 4x = 2 sin 2x cos 2x

Подставим это в уравнение:

• 2 sin 2x cos 2x = √3 cos 2x

Теперь можем разделить обе стороны на cos 2x, но при этом нужно учесть, что cos 2x не может быть равен нулю:

• 2 sin 2x = √3

Теперь выразим sin 2x:

• sin 2x = √3 / 2

Синус равен √3/2 при следующих углах:

• 2x = π/3 + 2kπ
• 2x = 2π/3 + 2kπ

Теперь найдем x:

• x = π/6 + kπ
• x = π/3 + kπ

Теперь нам нужно найти наименьший положительный и наибольший отрицательный корни. Рассмотрим оба случая:

1. Для x = π/6 + kπ:
   • При k = 0: x = π/6 (положительный корень)
   • При k = -1: x = π/6 - π = -5π/6 (отрицательный корень)
2. Для x = π/3 + kπ:
   • При k = 0: x = π/3 (положительный корень)
   • При k = -1: x = π/3 - π = -2π/3 (отрицательный корень)

Теперь сравним найденные корни:

• Наименьший положительный корень: π/6
• Наибольший отрицательный корень: -5π/6

Теперь найдем сумму этих корней:

• Сумма = (π/6) + (-5π/6) = -4π/6 = -2π/3

Переведем это значение в градусы. Зная, что π радиан соответствует 180 градусам:

• -2π/3 радиан = -2 * 180 / 3 = -120 градусов

Теперь нам нужно найти сумму наименьшего положительного корня и наибольшего отрицательного корня:

• Сумма = (π/6) + (-2π/3) = (π/6) - (4π/6) = -3π/6 = -π/2

Переведем -π/2 в градусы:

• -π/2 радиан = -90 градусов

Итак, окончательный ответ: