Давайте разберем данное выражение шаг за шагом, чтобы нам было легче его решить.

Начнем с выражения:

1/4 + ((1 целая 1/2 + 2 целых 2/3) : 3 целых 3/4 - 2/3) : 8 целых 8/9

1. Первый шаг: Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
• 1 целая 1/2 = 3/2,
• 2 целых 2/3 = 8/3,
• 3 целых 3/4 = 15/4,
• 8 целых 8/9 = 80/9.

Теперь переписываем выражение:

1/4 + ((3/2 + 8/3) : (15/4) - 2/3) : (80/9)

1. Второй шаг: Сложим дроби 3/2 и 8/3.
• Чтобы сложить дроби, сначала найдем общий знаменатель, который в данном случае равен 6.
• 3/2 = 9/6 и 8/3 = 16/6.
• Теперь складываем: 9/6 + 16/6 = 25/6.

Теперь выражение выглядит так:

1/4 + ((25/6) : (15/4) - 2/3) : (80/9)

1. Третий шаг: Теперь делим 25/6 на 15/4.
• Чтобы разделить дроби, умножаем на обратную: (25/6) * (4/15) = 100/90.
• Упрощаем: 100/90 = 10/9.

Теперь у нас следующее выражение:

1/4 + (10/9 - 2/3) : (80/9)

1. Четвертый шаг: Вычтем 2/3 из 10/9.
• Находим общий знаменатель, который равен 27.
• 10/9 = 30/27 и 2/3 = 18/27.
• Теперь вычитаем: 30/27 - 18/27 = 12/27 = 4/9.

Теперь выражение выглядит так:

1/4 + (4/9) : (80/9)

1. Пятый шаг: Делим 4/9 на 80/9.
• Умножаем на обратную дробь: (4/9) * (9/80) = 36/720 = 1/20.

Теперь у нас следующее выражение:

1/4 + 1/20

1. Шестой шаг: Сложим 1/4 и 1/20.
• Находим общий знаменатель, который равен 20.
• 1/4 = 5/20.
• Теперь складываем: 5/20 + 1/20 = 6/20 = 3/10.

Таким образом, окончательный ответ:

3/10.