Офис компании расположен на отдельном этаже бизнес-центра (см. рис.). В каждой комнате находится отдел, которым руководит менеджер. Директор компании решил повысить некоторых руководителей отделов до главных менеджеров. Однако нельзя допустить, чтобы двумя соседними отделами руководили главные менеджеры (иначе они будут спорить через стенку, кто из них главнее). Какое максимальное количество менеджеров можно повысить в должности? Не забудьте объяснить, почему оно действительно максимальное.

Математика 5 класс Комбинаторика математика 5 класс задачи на логику комбинаторика максимальное количество менеджеры отделы бизнес-центр соседние отделы повышение должности объяснение решения оптимизация задача на графы Новый

Давайте рассмотрим задачу о повышении менеджеров в офисе компании. Нам нужно понять, как можно максимизировать количество главных менеджеров, при этом соблюдая правило о том, что соседние отделы не могут быть возглавлены главными менеджерами.

Для начала, представим офис как граф, где каждая комната — это вершина, а стены между ними — это рёбра. Если два отдела соседние, то между ними есть ребро, и мы не можем повысить обоих руководителей до главных менеджеров.

Теперь давайте разберем, как можно организовать повышение. Мы можем использовать метод, называемый "через одну". Это значит, что мы будем чередовать главных менеджеров и обычных менеджеров.

• Предположим, что у нас есть 6 комнат (отделов). Мы можем обозначить их как A, B, C, D, E, F.
• Если мы повысим менеджеров в комнатах A, C, E, то менеджеры в B, D, F останутся обычными. Таким образом, мы повысили 3 менеджера.
• Если же мы попробуем повысить менеджеров в комнатах B, D, F, то менеджеры в A, C, E останутся обычными. Это также дает нам 3 повышения.

Таким образом, в обоих случаях максимальное количество главных менеджеров, которых мы можем назначить, составляет 3.

Теперь давайте объясним, почему это максимальное количество. Если мы попытаемся повысить 4 менеджера, то при любом выборе мы обязательно столкнемся с ситуацией, когда два главных менеджера окажутся соседними. Например, если мы попытаемся повысить A, B, C и D, то B и C будут соседними, что нарушает правило.

Таким образом, максимальное количество менеджеров, которых можно повысить до главных, действительно составляет 3, и это количество является оптимальным, так как любое увеличение приведет к нарушению условия.