На олимпиаде Катя, Мотя, Федя и Паша решали задачи, причём Катя решила на 5 задач больше Феди, а Мотя - на 6 задач больше Паши. Все решили разное число задач. Учитель послал в Москву на проверку только две лучшие работы, в которых сумме было решено 19 задач. Сколько задач было решено во всех четырёх работах? Укажите все подходящие варианты.

Математика 6 класс Системы уравнений Мотя сумма задач разные числа варианты решений Новый

Для решения задачи необходимо определить, сколько задач решил каждый из участников олимпиады, и найти все возможные варианты, при которых сумма задач двух лучших работ равна 19.

Обозначим количество задач, решённых каждым из участников:

• Федя — F задач
• Катя — F + 5 задач (так как Катя решила на 5 задач больше Феди)
• Паша — P задач
• Мотя — P + 6 задач (так как Мотя решила на 6 задач больше Паши)

Все участники решили разное количество задач. Учитель выбрал две лучшие работы, и их сумма равна 19 задач. Это значит, что сумма задач, решённых двумя лучшими участниками, должна быть равна 19.

Рассмотрим возможные пары участников, чья сумма задач равна 19:

1. Катя и Мотя:
   
   • Количество задач: (F + 5) + (P + 6) = 19
   • Упрощаем уравнение: F + P + 11 = 19
   • Получаем: F + P = 8
2. Катя и Паша:
   
   • Количество задач: (F + 5) + P = 19
   • Упрощаем уравнение: F + P + 5 = 19
   • Получаем: F + P = 14
3. Федя и Мотя:
   
   • Количество задач: F + (P + 6) = 19
   • Упрощаем уравнение: F + P + 6 = 19
   • Получаем: F + P = 13

Теперь найдём возможные наборы значений для F и P, учитывая, что все участники решили разное количество задач:

• Для F + P = 8:
  
  • F = 2, P = 6: Катя = 7, Мотя = 12
  • F = 3, P = 5: Катя = 8, Мотя = 11
  • F = 4, P = 4: Катя = 9, Мотя = 10
• Для F + P = 14:
  
  • F = 6, P = 8: Катя = 11, Мотя = 14
• Для F + P = 13:
  
  • F = 5, P = 8: Катя = 10, Мотя = 14
  • F = 7, P = 6: Катя = 12, Мотя = 12 (не подходит, так как Катя и Мотя решили одинаковое количество задач)

Таким образом, возможные варианты общего количества решённых задач всеми участниками:

• F = 2, P = 6: Катя = 7, Мотя = 12. Сумма = 2 + 7 + 6 + 12 = 27 задач
• F = 3, P = 5: Катя = 8, Мотя = 11. Сумма = 3 + 8 + 5 + 11 = 27 задач
• F = 4, P = 4: Катя = 9, Мотя = 10. Сумма = 4 + 9 + 4 + 10 = 27 задач
• F = 6, P = 8: Катя = 11, Мотя = 14. Сумма = 6 + 11 + 8 + 14 = 39 задач
• F = 5, P = 8: Катя = 10, Мотя = 14. Сумма = 5 + 10 + 8 + 14 = 37 задач

Таким образом, возможные суммы решённых задач всеми участниками: 27, 37 и 39 задач.