Для решения этой задачи необходимо использовать некоторые математические методы, такие как система уравнений и остатки от деления. Давайте разберёмся шаг за шагом.

• Количество тарелок обозначим как N.
• Известно, что 500 < N < 600.
• При раскладывании тарелок десятками не хватило трёх тарелок, что можно записать как: N mod 10 = 7.
• При раскладывании тарелок дюжинами осталось семь тарелок, что можно записать как: N mod 12 = 7.

• Первое уравнение: N = 10k + 7 (где k - целое число).
• Второе уравнение: N = 12m + 7 (где m - целое число).

Из первого уравнения видно, что N всегда заканчивается на 7. Теперь подставим это значение во второе уравнение:

• 10k + 7 = 12m + 7.
• Упростим: 10k = 12m.
• Таким образом, 5k = 6m.

Для того чтобы уравнение 5k = 6m имело целочисленные решения, необходимо, чтобы k и m были кратны 6 и 5 соответственно. Обозначим:

• k = 6n, где n - целое число.
• m = 5n.

Теперь подставим значение k в первое уравнение:

• N = 10(6n) + 7 = 60n + 7.

Теперь мы знаем, что N = 60n + 7. Нам нужно найти n так, чтобы 500 < N < 600:

• 500 < 60n + 7 < 600.

• 500 < 60n + 7:
• 493 < 60n:
• n > 493/60 ≈ 8.22. Таким образом, n >= 9.

• 60n + 7 < 600:
• 60n < 593:
• n < 593/60 ≈ 9.88. Таким образом, n <= 9.

Таким образом, n может принимать только значение 9. Подставим его обратно в уравнение для N:

• N = 60 * 9 + 7 = 540 + 7 = 547.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение условиям задачи:

• 547 действительно больше 500 и меньше 600.
• 547 mod 10 = 7 (не хватает 3 тарелок до 550).
• 547 mod 12 = 7 (осталось 7 тарелок после раскладки по 12).

Таким образом, количество тарелок равно 547.