Чтобы решить уравнения, используя понятие «расстояние», важно помнить, что модуль (абсолютное значение) числа представляет собой его расстояние от нуля на числовой прямой. Рассмотрим примеры:

1. |a| = 8

   Это уравнение говорит нам, что расстояние числа a от нуля равно 8. Следовательно, a может быть либо 8, либо -8. Таким образом, мы имеем:

   • a = 8
   • a = -8
2. |-b| = 9

   Здесь модуль -b также равен 9. Это означает, что -b может быть 9 или -9. Следовательно, b может быть:

   • b = -9
   • b = 9
3. -|c| = -3

   Умножив обе стороны на -1, получаем |c| = 3. Это означает, что c может быть 3 или -3:

   • c = 3
   • c = -3
4. |d| = 0

   Модуль равен нулю только в случае, если d = 0:

   • d = 0
5. -|-x| = 10

   Это уравнение невозможно, так как модуль всегда неотрицателен, а значит, -|-x| не может быть положительным числом.

6. -|-y| = -4

   Аналогично предыдущему, это уравнение также невозможно, так как модуль не может быть отрицательным.

Теперь решим уравнения из заданий 824 и 825:

1. 824:
   1. x + 3 = 5

      Вычтем 3 из обеих сторон:

      x = 5 - 3 = 2

   2. y - 2 = 1

      Прибавим 2 к обеим сторонам:

      y = 1 + 2 = 3

   3. 2x + 3 = 9

      Сначала вычтем 3:

      2x = 9 - 3 = 6

      Теперь разделим обе стороны на 2:

      x = 6 / 2 = 3

   4. 5y - 4 = 6

      Сначала прибавим 4:

      5y = 6 + 4 = 10

      Теперь разделим обе стороны на 5:

      y = 10 / 5 = 2

2. 825:
   1. x + 3 = 0

      Вычтем 3:

      x = 0 - 3 = -3

   2. |x - 5| = 0

      Модуль равен нулю только если x - 5 = 0, значит:

      x = 5

   3. |1 + x| = 0

      Аналогично, 1 + x = 0:

      x = -1

   4. |2 - x| = 0

      Здесь 2 - x = 0:

      x = 2

   5. |4x| = 1

      Это означает, что 4x = 1 или 4x = -1. Решаем оба случая:

      • 4x = 1: x = 1/4
      • 4x = -1: x = -1/4
   6. 4 + |3y| = 7

      Сначала вычтем 4:

      |3y| = 3

      Это означает, что 3y = 3 или 3y = -3:

      • 3y = 3: y = 1
      • 3y = -3: y = -1

Таким образом, мы рассмотрели, как использовать понятие расстояния для решения уравнений с модулем, а также решили все уравнения из заданий 824 и 825.