Чтобы найти наименьшее натуральное число, которое нужно умножить на 7, чтобы получить число, состоящее только из единиц, мы можем следовать следующим шагам:

1. Определим, что такое число, состоящее только из единиц. Это число может быть записано в виде 1, 11, 111, 1111 и так далее. Мы можем выразить его как 10^n - 1 / 9, где n - количество единиц.
2. Запишем уравнение. Нам нужно найти такое n, что 7 * k = (10^n - 1) / 9 для некоторого натурального числа k. Умножив обе стороны на 9, получаем:
   • 63k = 10^n - 1
3. Перепишем уравнение. Это уравнение можно переписать как:
   • 10^n = 63k + 1
4. Теперь будем подбирать значения n. Для каждого n мы будем проверять, делится ли (10^n - 1) на 7.
   • Для n = 1: 10^1 - 1 = 9, 9 не делится на 7.
   • Для n = 2: 10^2 - 1 = 99, 99 не делится на 7.
   • Для n = 3: 10^3 - 1 = 999, 999 делится на 7 (999 / 7 = 142.7142857142857, не подходит).
   • Для n = 4: 10^4 - 1 = 9999, 9999 делится на 7 (9999 / 7 = 1428.4285714285716, не подходит).
   • Для n = 5: 10^5 - 1 = 99999, 99999 делится на 7 (99999 / 7 = 14285.57142857143, не подходит).
   • Для n = 6: 10^6 - 1 = 999999, 999999 делится на 7 (999999 / 7 = 142857, подходит).
5. Находим k. Теперь мы знаем, что n = 6, и подставляем его в уравнение:
   • k = (10^6 - 1) / 63 = 999999 / 63 = 15873.
6. Ответ. Таким образом, наименьшее натуральное число, которое нужно умножить на 7, чтобы получить число, состоящее только из единиц, это 15873.

Ответ: 15873.