Какое наименьшее значение n для клетчатой доски размером n×n, окрашенной в зелёный, синий и белый цвета, при котором в любой раскраске можно обнаружить строку и столбец, содержащие хотя бы три клетки одного цвета?

Математика 7 класс Комбинаторная геометрия наименьшее значение n клетчатая доска раскраска три клетки одного цвета математика 7 класс Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим, как можно раскрасить клетчатую доску размером n×n тремя цветами: зелёным, синим и белым. Наша цель - найти наименьшее значение n, при котором в любом раскрашивании обязательно найдется хотя бы одна строка или один столбец, содержащие хотя бы три клетки одного цвета.

Для начала, давайте проанализируем, что происходит на доске размером 1×1, 2×2 и 3×3:

• Для n=1: У нас есть только одна клетка. Она может быть любого цвета, но не может образовать строку или столбец из трех клеток одного цвета.
• Для n=2: У нас есть 4 клетки. Даже если мы раскрасим их по-разному, мы не можем получить три одинаковых цвета в строке или столбце.
• Для n=3: У нас 9 клеток. Если мы раскрасим их так, что в каждой строке и каждом столбце будет по два цвета, то также не получится получить три одинаковых цвета в строке или столбце.

Теперь давайте рассмотрим размер доски n=4:

• На доске 4×4 у нас 16 клеток. Попробуем раскрасить ее так, чтобы избежать трех клеток одного цвета в строках и столбцах. Например, можно раскрасить так:

Зеленый  | Синий  | Белый  | Зеленый
Синий    | Белый  | Зеленый | Синий
Белый    | Зеленый | Синий  | Белый
Зеленый  | Синий  | Белый  | Зеленый

В этом раскрашивании в каждой строке и столбце всего по два цвета, и мы не можем найти три клетки одного цвета.

Теперь давайте проверим n=5:

• На доске 5×5 у нас 25 клеток. Мы можем попробовать раскрасить ее так:

Зеленый  | Синий  | Белый  | Зеленый | Синий
Синий    | Белый  | Зеленый | Синий  | Белый
Белый    | Зеленый | Синий  | Белый  | Зеленый
Зеленый  | Синий  | Белый  | Зеленый | Синий
Синий    | Белый  | Зеленый | Синий  | Белый

В этом случае также удается избежать наличия трех клеток одного цвета в любой строке или столбце.

Теперь давайте рассмотрим n=6:

• На доске 6×6 у нас 36 клеток. В этом случае, согласно принципу Дирихле, если мы раскрасим клетки, то в одной из строк или столбцов обязательно окажется три клетки одного цвета. Доказательство этого основано на том, что в каждой строке или столбце может быть максимум два цвета, а если мы добавим еще одну строку или столбец, то один из цветов должен будет повториться.

Таким образом, наименьшее значение n, при котором в любой раскраске можно обнаружить строку и столбец, содержащие хотя бы три клетки одного цвета, равно 6.

Ответ: n = 6