На шахматной доске размером восемь на восемь Вася расставил 14 фигур. Как можно доказать, что найдётся квадрат размером два на два, в котором не будет фигур, размещающихся внутри клеток размером один на один?

Математика 7 класс Комбинаторная геометрия шахматная доска фигуры на доске квадрат 2x2 доказательство комбинаторика математика 7 класс Новый

Чтобы доказать, что на шахматной доске 8 на 8, на которой размещено 14 фигур, найдётся квадрат размером 2 на 2, в котором не будет фигур, воспользуемся методом деления доски на части.

Шахматная доска состоит из 64 клеток (8 на 8). Если мы разделим доску на квадраты размером 2 на 2, то получится 16 таких квадратов, так как:

• Каждый квадрат 2 на 2 занимает 4 клетки (2 клетки по ширине и 2 клетки по высоте).
• Общее количество клеток на доске: 8 * 8 = 64.
• Количество квадратов 2 на 2: 64 / 4 = 16.

Теперь, если Вася расставил 14 фигур, то это означает, что на доске осталось:

64 - 14 = 50 клеток свободными.

Каждый квадрат 2 на 2 состоит из 4 клеток. Мы можем рассмотреть, сколько квадратов 2 на 2 можно заполнить фигурами. Если бы мы пытались разместить фигуры в каждом квадрате 2 на 2, то у нас было бы следующее:

• Каждый квадрат может содержать максимум 4 фигуры.
• Если бы все 16 квадратов были полностью заполнены фигурами, то нам понадобилось бы 16 * 4 = 64 фигуры.

Однако у нас только 14 фигур, что означает, что не все квадраты могут быть заполнены. Давайте посчитаем, сколько квадратов мы можем заполнить:

14 фигур / 4 фигуры на квадрат = 3.5 квадрата.

Это означает, что мы можем заполнить максимум 3 полных квадрата 2 на 2 фигурами, что в сумме даст:

3 квадрата * 4 фигуры = 12 фигур.

Таким образом, остаётся:

14 - 12 = 2 фигуры.

Это значит, что в 13 квадрате 2 на 2 не может быть фигур, так как у нас всего 14 фигур, а 3 квадрата уже заполнены. Следовательно, в одном из квадратов 2 на 2 обязательно будет пустое место.

Таким образом, мы доказали, что на шахматной доске размером 8 на 8, на которой размещено 14 фигур, обязательно найдётся квадрат размером 2 на 2, в котором не будет фигур.