На шахматной доске размером восемь на восемь Вася расставил 14 фигур. Как можно доказать, что найдётся квадрат размером два на два, в котором не будет фигур, если фигуры размещаются внутри клеток размером один на один?

Математика 7 класс Комбинаторная геометрия шахматная доска фигуры на доске квадрат 2 на 2 доказательство комбинаторика математика 7 класс Новый

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться принципом Дирихле, который гласит, что если n объектов помещаются в m контейнеров, и n больше m, то хотя бы один контейнер должен вмещать более одного объекта.

В нашем случае у нас есть шахматная доска размером 8 на 8, что означает, что у нас есть 64 клетки (контейнера). Однако мы расставили только 14 фигур (объектов).

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем разбить нашу шахматную доску на меньшие квадраты размером 2 на 2. Если мы разделим всю доску на квадраты 2 на 2, то получим:

• В каждом квадрате 2 на 2 содержится 4 клетки.
• На всей доске 8 на 8 у нас будет 16 таких квадратов 2 на 2 (так как 8 делим на 2, получаем 4 по горизонтали и 4 по вертикали, а 4 умножаем на 4, получаем 16).

Теперь мы имеем 16 квадратов 2 на 2 и 14 фигур. Если бы все 14 фигур были размещены по квадратам 2 на 2, то максимум, что мы могли бы сделать, это разместить по одной фигуре в 14 из 16 квадратов. Это означает, что как минимум 2 квадрата 2 на 2 останутся пустыми, так как у нас только 14 фигур.

Таким образом, мы можем утверждать, что найдётся квадрат размером 2 на 2, в котором не будет фигур. Это и есть искомое доказательство.