Чтобы найти собственную скорость катера, нужно учесть, что при движении против течения и по течению реки его скорость изменяется на скорость течения реки. Обозначим собственную скорость катера за v км/ч.

Давайте разберем задачу по шагам:

1. Определим скорость катера в разных условиях:
   • Против течения: скорость катера уменьшается на скорость течения, то есть (v - 4) км/ч.
   • По течению: скорость катера увеличивается на скорость течения, то есть (v + 4) км/ч.
2. Вычислим время в часах:
   • Против течения: дано, что катер проходит расстояние за 3 часа.
   • По течению: время 2 часа 15 минут нужно перевести в часы. 15 минут — это 0.25 часа, следовательно, время будет 2.25 часа.
3. Составим уравнения для расстояния:
   • Пусть расстояние между посёлками равно S км.
   • Против течения: S = (v - 4) * 3.
   • По течению: S = (v + 4) * 2.25.
4. Решим систему уравнений:
   • Из первого уравнения: S = 3v - 12.
   • Из второго уравнения: S = 2.25v + 9.
   • Приравняем правые части уравнений: 3v - 12 = 2.25v + 9.
   • Решим уравнение:
     • 3v - 2.25v = 9 + 12
     • 0.75v = 21
     • v = 21 / 0.75
     • v = 28
5. Ответ: собственная скорость катера составляет 28 км/ч.

Таким образом, собственная скорость катера равна 28 км/ч.