Чтобы найти все трёхзначные числа, которые можно разложить на шесть одинаковых простых множителей, начнём с определения, что такое "разложить на шесть одинаковых простых множителей". Это означает, что число можно представить в виде:

где p - простое число, а n - искомое трёхзначное число.

Теперь нам нужно определить, какие простые числа могут быть возведены в шестую степень, чтобы результат оказался трёхзначным.

Трёхзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999. Таким образом, мы можем записать неравенство:

Теперь найдем границы для p:

• Сначала найдём корень шестой степени из 100:

p ≥ 100^(1/6).

Приблизительно это равно 2.154.

• Теперь найдем корень шестой степени из 999:

p ≤ 999^(1/6).

Приблизительно это равно 3.659.

Таким образом, p может принимать значения 3 и 2, так как это простые числа в диапазоне от 2.154 до 3.659.

Теперь проверим, какие из этих простых чисел дают трёхзначные числа при возведении в шестую степень:

• Для p = 2:
• 2^6 = 64 (не трёхзначное число)
• Для p = 3:
• 3^6 = 729 (тро́хзначное число)

Таким образом, единственным трёхзначным числом, которое можно разложить на шесть одинаковых простых множителей, является:

В заключение, трёхзначное число, которое можно разложить на шесть одинаковых простых множителей, это 729.