Задача 1. Чтобы заполнить чан 250 литров использовали 5-литровые и 8-литровые бидоны. Какое наибольшее количество 5-литровых бидонов было использовано?

1. Обозначим через x число 5-литровых бидонов, через y — число 8-литровых. Получаем уравнение:

   5x + 8y = 250.

2. Решим это уравнение в целых неотрицательных числах. Взглянем на уравнение по модулю 8:

   5x ≡ 250 (mod 8). Так как 250 ≡ 2 (mod 8), имеем 5x ≡ 2 (mod 8).

   Число 5 имеет обратный элемент по модулю 8: 5·5 ≡ 1 (mod 8), поэтому умножим обе части на 5:

   x ≡ 5·2 ≡ 10 ≡ 2 (mod 8).

   Значит x = 2 + 8k для некоторого целого k ≥ 0.

3. Подставим x в исходное уравнение и найдём y:

   y = (250 - 5x)/8 = (250 - 5(2+8k))/8 = (240 - 40k)/8 = 30 - 5k.

   Так как y ≥ 0, получаем 30 - 5k ≥ 0 ⇒ k ≤ 6. Поскольку k ≥ 0, возможны k = 0,1,2,3,4,5,6.

4. Для максимального числа 5-литровых бидонов берем максимальное k = 6:

   x = 2 + 8·6 = 50,

   y = 30 - 5·6 = 0.

   Проверка: 50·5 + 0·8 = 250.

Ответ (Задача 1): наибольшее количество 5-литровых бидонов — 50.

Задача 2. Число, задуманное моей сестрой, на 185 единиц больше моего. Число брата на 110 единиц меньше моего. Сумма трёх чисел равна 594. Какое число задумал я?

1. Обозначим моё число через a. Тогда сестрыно число = a + 185, брата = a - 110.
2. Составим уравнение суммы:

   a + (a + 185) + (a - 110) = 594.

   Сложим: 3a + 75 = 594.

3. Вычтем 75: 3a = 594 - 75 = 519. Разделим на 3: a = 519 / 3 = 173.
4. Проверка: сестра = 173 + 185 = 358, брат = 173 - 110 = 63. Сумма 173 + 358 + 63 = 594.

Ответ (Задача 2): моё число равно 173.