Для решения задачи мы будем использовать свойства прямоугольного треугольника, где один из углов равен 30 градусам. В таком треугольнике есть известные соотношения между длинами катетов и гипотенузы.

В нашем случае, гипотенуза равна 6 см. Для треугольника с углом 30 градусов выполняются следующие соотношения:

• Катет, противолежащий углу 30 градусов, равен половине гипотенузы.
• Катет, противолежащий углу 60 градусов, равен гипотенузе, умноженной на корень из 3, делённый на 2.

Теперь давайте найдем длины катетов:

1. Для катета, противолежащего углу 30 градусов:
   • Длина этого катета = 1/2 * гипотенуза = 1/2 * 6 см = 3 см.
2. Для катета, противолежащего углу 60 градусов:
   • Длина этого катета = (гипотенуза * корень из 3) / 2 = (6 см * корень из 3) / 2 = 3 * корень из 3 см.

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника составляют:

• Катет, противолежащий углу 30 градусов: 3 см.
• Катет, противолежащий углу 60 градусов: 3 * корень из 3 см (примерно 5.2 см).

Это и есть искомые длины катетов в данном прямоугольном треугольнике.