В треугольнике ABC, где стороны AB и BC равны, проведена перпендикулярная линия BD к стороне AC. Длина стороны AB равна 4 см, а угол A составляет 45 градусов. Какова длина отрезка BD?

Математика 7 класс Треугольники треугольник ABC стороны AB и BC равны перпендикуляр BD длина AB 4 см угол A 45 градусов длина отрезка BD Новый

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 4 см, и угол A равен 45 градусов. Мы проведем перпендикуляр BD к стороне AC. Нам нужно найти длину отрезка BD.

1. **Найдем длину стороны AC.**

• Поскольку треугольник ABC равнобедренный, угол B равен углу C. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, то:
• Угол B + Угол C + Угол A = 180 градусов.
• Угол B + Угол B + 45 градусов = 180 градусов.
• 2 * Угол B = 180 - 45 = 135 градусов.
• Угол B = 135 / 2 = 67.5 градусов.

2. **Используем теорему синусов для нахождения стороны AC.**

• По теореме синусов: AC / sin(A) = AB / sin(B).
• Подставим известные значения:
• AC / sin(45 градусов) = 4 / sin(67.5 градусов).
• sin(45 градусов) = √2 / 2, а sin(67.5 градусов) можно выразить как sin(90 - 22.5) = cos(22.5) = √(1 + cos(45)) / 2 = √(1 + √2 / 2) / 2.
• Для упрощения расчетов, воспользуемся приближенным значением sin(67.5) ≈ 0.9239.
• Тогда у нас получается: AC / (√2 / 2) = 4 / 0.9239.
• AC = (4 * √2 / 2) / 0.9239 ≈ 4 * 0.7071 / 0.9239 ≈ 3.06 см.

3. **Теперь найдем длину отрезка BD.**

• В треугольнике ABD, где угол A равен 45 градусам, мы можем использовать тригонометрические функции.
• Согласно определению тангенса, tan(A) = противолежащий катет / прилежащий катет.
• В нашем случае: tan(45 градусов) = BD / AD.
• Так как tan(45 градусов) = 1, то BD = AD.
• Теперь найдем AD. Поскольку треугольник ABD равнобедренный, AD = AC / 2 = 3.06 / 2 ≈ 1.53 см.

Таким образом, длина отрезка BD равна 1.53 см.