Ваня разделил задуманное им натуральное число на 5, потом на 6, а затем на 11, и в каждом случае получил остаток. Сумма этих остатков равна 19. Какой остаток даёт это число при делении на 33?

Математика 7 класс Остатки от деления математика 7 класс задача остаток деление натуральное число сумма остатков деление на 5 деление на 6 деление на 11 остаток при делении на 33 решение задачи арифметика остатки от деления Новый

Давайте разберем задачу пошагово. Пусть задуманное Ваней число обозначим через x. Ваня делил это число на 5, 6 и 11 и каждый раз получал остаток. Обозначим эти остатки как r1, r2 и r3 соответственно.

Итак, у нас есть следующие условия:

• x ≡ r1 (mod 5)
• x ≡ r2 (mod 6)
• x ≡ r3 (mod 11)

Также известно, что сумма этих остатков равна 19:

r1 + r2 + r3 = 19

Наша задача - найти остаток от деления числа x на 33. Заметим, что 33 является произведением 3 и 11 (33 = 3 * 11), поэтому мы можем воспользоваться китайской теоремой об остатках. Но сначала найдем общие остатки по модулю 5, 6 и 11.

Пусть:

• x = 5k + r1
• x = 6m + r2
• x = 11n + r3

Теперь, так как r1 + r2 + r3 = 19, нам нужно найти возможные значения r1, r2 и r3, которые удовлетворяют условиям:

• 0 ≤ r1 < 5
• 0 ≤ r2 < 6
• 0 ≤ r3 < 11

Давайте попробуем подобрать такие значения:

• Если r1 = 3, r2 = 5, r3 = 11 (не подходит, так как r3 не может быть больше 10)
• Если r1 = 4, r2 = 5, r3 = 10 (подходит, так как 4 + 5 + 10 = 19)

Таким образом, значения остатков:

• r1 = 4
• r2 = 5
• r3 = 10

Теперь воспользуемся китайской теоремой об остатках, чтобы найти число x по модулю 33:

Итак, у нас:

• x ≡ 4 (mod 5)
• x ≡ 5 (mod 6)
• x ≡ 10 (mod 11)

Начнем с первых двух уравнений:

Ищем такое число x, которое удовлетворяет условиям x ≡ 4 (mod 5) и x ≡ 5 (mod 6).

Пусть x = 5k + 4. Тогда:

• 5k + 4 ≡ 5 (mod 6)
• 5k ≡ 1 (mod 6)

Ищем обратный элемент к 5 по модулю 6. Заметим, что 5 ≡ -1 (mod 6), тогда:

• -k ≡ 1 (mod 6)
• k ≡ -1 ≡ 5 (mod 6)

Таким образом, k = 6m + 5 для некоторого целого m. Подставляем это в x:

• x = 5(6m + 5) + 4 = 30m + 25 + 4 = 30m + 29

Теперь учтем третье уравнение:

x ≡ 10 (mod 11)

Ищем такое m, чтобы 30m + 29 ≡ 10 (mod 11):

• 30m + 29 ≡ 10 (mod 11)
• 30m ≡ 10 - 29 ≡ -19 ≡ -8 ≡ 3 (mod 11)

Ищем обратный элемент к 30 по модулю 11. Заметим, что 30 ≡ 8 (mod 11), тогда:

• 8m ≡ 3 (mod 11)

Ищем m:

• 8 * 7 ≡ 56 ≡ 1 (mod 11) (обратный элемент к 8 – это 7 по модулю 11)
• 8m ≡ 3 (mod 11)
• m ≡ 3 * 7 ≡ 21 ≡ 10 (mod 11)

Подставляем значение m в x:

• x = 30m + 29 = 30 * 10 + 29 = 300 + 29 = 329

Таким образом, остаток от деления 329 на 33:

• 329 / 33 = 9 (целая часть)
• 329 - 33 * 9 = 329 - 297 = 32

Ответ: 32.