1) Если высота ромба, проведенная из тупого угла, делит сторону ромба пополам, то какие углы у этого ромба?

2) В параллелограмме ABCD из тупых углов B и D проведены биссектрисы BE и DF. Точки E и F находятся на диагонали AC. Как можно доказать, что четырехугольник BFDE является параллелограммом?

3) Периметр треугольника составляет 27 см, а его стороны относятся как 3:2:4. Каковы стороны треугольника, образованного средними линиями этого треугольника?

4) Каковы углы равнобедренной трапеции, если одно из оснований в два раза больше другого, а боковые стороны равны меньшему основанию?

Математика 8 класс Геометрия ромб углы параллелограмм доказательство треугольник стороны равнобедренная трапеция углы Новый

1) Если высота ромба, проведенная из тупого угла, делит сторону ромба пополам, то какие углы у этого ромба?

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. В ромбе высота, проведенная из тупого угла, делит сторону пополам. Это означает, что образуется два равных треугольника. Поскольку высота перпендикулярна основанию, мы можем использовать свойства треугольников.

• Обозначим углы ромба как A, B, C и D, где A и C - тупые углы, а B и D - острые углы.
• В этом случае, углы A и C будут равны, а углы B и D также будут равны.
• Так как сумма углов в любом четырехугольнике равна 360 градусам, мы можем записать уравнение: 2A + 2B = 360.
• Это уравнение можно упростить до A + B = 180.
• Поскольку A - тупой угол, то A > 90 градусов, а B < 90 градусов.

Таким образом, в ромбе один из углов (тупой) больше 90 градусов, а другой (острый) меньше 90 градусов.

2) В параллелограмме ABCD из тупых углов B и D проведены биссектрисы BE и DF. Точки E и F находятся на диагонали AC. Как можно доказать, что четырехугольник BFDE является параллелограммом?

Для доказательства того, что четырехугольник BFDE является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны равны и параллельны.

• Поскольку ABCD - параллелограмм, то углы B и D равны по 180 градусов минус угол A и угол C соответственно.
• Биссектрисы BE и DF делят углы B и D пополам, следовательно, угол ABE равен углу CDF.
• Поскольку углы ABE и CDF равны, то отрезки BE и DF являются параллельными.
• Также, из свойств биссектрис известно, что отрезки E и F делят AC пополам, что значит, что BF и DE также равны.

Таким образом, мы имеем две пары равных и параллельных сторон, что и доказывает, что четырехугольник BFDE является параллелограммом.

3) Периметр треугольника составляет 27 см, а его стороны относятся как 3:2:4. Каковы стороны треугольника, образованного средними линиями этого треугольника?

Давайте сначала найдем стороны треугольника. Обозначим стороны как 3x, 2x и 4x, где x - это коэффициент пропорциональности.

• Суммируем стороны: 3x + 2x + 4x = 9x.
• Сравниваем с периметром: 9x = 27.
• Решаем уравнение: x = 27 / 9 = 3.

Теперь подставляем значение x:

• Сторона 1: 3x = 3 * 3 = 9 см.
• Сторона 2: 2x = 2 * 3 = 6 см.
• Сторона 3: 4x = 4 * 3 = 12 см.

Теперь найдем стороны треугольника, образованного средними линиями. Стороны этого треугольника равны половинам соответствующих сторон исходного треугольника:

• Сторона 1: 9 / 2 = 4.5 см.
• Сторона 2: 6 / 2 = 3 см.
• Сторона 3: 12 / 2 = 6 см.

Таким образом, стороны треугольника, образованного средними линиями, равны 4.5 см, 3 см и 6 см.

4) Каковы углы равнобедренной трапеции, если одно из оснований в два раза больше другого, а боковые стороны равны меньшему основанию?

Обозначим основания трапеции как a и b, где a - большее основание, а b - меньшее. Из условия следует, что a = 2b. Боковые стороны равны меньшему основанию, то есть обе боковые стороны равны b.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Обозначим углы при основании как α (при основании b) и β (при основании a).

• Сумма углов в трапеции равна 360 градусам.
• Следовательно, 2α + 2β = 360.
• Это уравнение можно упростить до α + β = 180.
• Так как a = 2b, мы можем использовать свойства треугольников, образованных боковыми сторонами и основаниями.

Если провести высоты из углов, образуются два прямоугольных треугольника. В них мы можем выразить углы через соотношения сторон. Учитывая, что боковые стороны равны меньшему основанию, мы можем заключить, что углы α и β будут равны 60 и 120 градусов соответственно.

Таким образом, углы равнобедренной трапеции составляют 60 и 120 градусов.