1. Количество граней и рёбер правильной восьмиугольной призмы

Правильная восьмиугольная призма состоит из двух оснований, которые являются правильными восьмиугольниками, и боковых граней, которые представляют собой прямоугольники.

• Количество граней:
• 2 основания (восьмиугольники)
• 8 боковых граней (прямоугольников)
• Итого: 2 + 8 = 10 граней

• Количество рёбер:
• 8 рёбер в каждом основании (восьмиугольники)
• 8 рёбер, соединяющих соответствующие вершины оснований
• Итого: 8 + 8 = 16 рёбер

Таким образом, правильная восьмиугольная призма имеет 10 граней и 16 рёбер.

2. Высота призмы и площадь полной поверхности

Для нахождения высоты призмы ВВ₁, зная площадь треугольника ΔСАВ₁ и его основание, используем формулу для площади треугольника:

Площадь = 1/2 * основание * высота

В нашем случае основание треугольника ΔСАВ₁ - это сторона АС, равная 18 см. Площадь треугольника равна 180 см². Подставим известные значения в формулу:

180 = 1/2 * 18 * h

Теперь решим уравнение для h (высоты призмы):

1. Умножаем обе стороны на 2: 360 = 18 * h
2. Делим обе стороны на 18: h = 360 / 18
3. h = 20 см

Таким образом, высота призмы ВВ₁ равна 20 см.

Теперь для вычисления площади полной поверхности призмы, нам нужно найти площадь боковых граней и площадь оснований:

• Площадь одного основания (равнобедренного треугольника): 180 см².
• Площадь двух оснований: 2 * 180 = 360 см².
• Площадь боковых граней: периметр основания * высота призмы.

Периметр основания (равнобедренного треугольника) равен: 15 + 15 + 18 = 48 см.

Площадь боковых граней = 48 * 20 = 960 см².

Итак, площадь полной поверхности призмы:

Площадь полной поверхности = площадь оснований + площадь боковых граней = 360 + 960 = 1320 см².

3. Развертка и апофема правильной треугольной пирамиды

Для изображения развертки правильной треугольной пирамиды, мы можем представить её в виде треугольника, который будет основанием, и трёх треугольников, которые будут боковыми гранями. Они располагаются вокруг основания.

Чтобы найти апофему пирамиды, воспользуемся формулой:

Апофема (l) = sqrt( (a/2)^2 + h^2 ),

где a - сторона основания, h - высота боковой грани.

Сначала найдем высоту боковой грани (h). Мы знаем, что боковое ребро равно 20 см, а сторона основания равна 24 см.

Сначала находим половину стороны основания: a/2 = 24/2 = 12 см.

Теперь применим теорему Пифагора:

1. l^2 = 20^2 - 12^2
2. l^2 = 400 - 144 = 256
3. l = sqrt(256) = 16 см.

Таким образом, апофема пирамиды равна 16 см.