Для решения задачи начнем с анализа того, что происходит, когда Андрей отмечает клетки в квадрате размером 12 на 12. Клетки могут быть соседними по стороне, и у каждой клетки может быть от 0 до 4 соседей, которые уже были отмечены.

Давайте разберем, что означают записанные числа:

• Нули означают, что отмеченная клетка не имеет соседей, которые были отмечены ранее. Это возможно, если клетка находится на краю или в углу квадрата и отмечается первой.
• Единицы означают, что отмеченная клетка имеет ровно одного соседа, который был отмечен ранее.
• Четверки означают, что отмеченная клетка имеет всех четырех соседей, которые были отмечены ранее.

Теперь, учитывая, что у нас есть 14 нулей и 10 единиц, мы можем сделать некоторые выводы:

• 14 нулей означают, что 14 клеток были отмечены, когда не было ни одного соседнего отмеченного соседа. Это может произойти, если Андрей отмечает клетки по отдельности, избегая соседей.
• 10 единиц указывают на то, что 10 клеток имели только одного соседа, который был отмечен ранее.

Теперь давайте подумаем о том, сколько клеток могли бы получить значение 4. Для того чтобы клетка могла быть отмечена с числом 4, все ее соседи должны быть уже отмечены. Это возможно только в том случае, если клетка отмечается после того, как все ее соседи уже были отмечены.

Теперь давайте подсчитаем, сколько клеток может быть отмечено с числом 4, учитывая, что у нас уже есть 14 нулей и 10 единиц:

1. Общее количество клеток, отмеченных ранее, равно 14 (нули) + 10 (единицы) = 24 клетки.
2. Остальные 144 - 24 = 120 клеток могут быть отмечены с числами 2, 3 и 4.

Для того чтобы максимизировать количество четвёрок, нам нужно минимизировать количество клеток, отмеченных с числами 2 и 3. Если мы отметим все 120 клеток с числом 4, это будет возможно только в том случае, если каждая из этих клеток будет иметь всех четырех соседей отмеченными. Однако это невозможно, так как у нас уже есть 24 клетки, отмеченные ранее.

Таким образом, давайте предположим, что мы можем отметить, например, 24 клетки с числом 4. В этом случае мы можем получить 24 клетки, которые имеют всех четырех соседей отмеченными. Но это требует, чтобы 24 клетки были расположены так, чтобы каждая из них имела 4 соседа, что невозможно, если у нас есть 14 нулей и 10 единиц.

Теперь давайте оценим, какое максимальное количество четвёрок мы можем получить. Если мы предположим, что 10 клеток с единицами могли бы быть расположены так, чтобы не мешать максимальному количеству четвёрок, то, возможно, мы можем получить 10 четвёрок.

Таким образом, максимальное количество четвёрок, которое могло быть написано, составляет: