Докажите, что для любого нечетного значения n выражение (4n + 1)² – (n + 4)² делится на 120.

Математика 8 класс Алгебраические выражения и их свойства доказательство нечетные числа Делимость выражение математика 8 класс 4n + 1 (n + 4)² делится на 120 Новый

Для того чтобы доказать, что выражение (4n + 1)² – (n + 4)² делится на 120 для любого нечетного значения n, начнем с упрощения данного выражения.

Рассмотрим выражение:

(4n + 1)² – (n + 4)²

Это разность квадратов, которую можно представить в виде:

a² – b² = (a - b)(a + b)

Где a = (4n + 1) и b = (n + 4). Подставим значения a и b:

(4n + 1 - (n + 4))(4n + 1 + (n + 4))

Упростим каждую часть:

• 4n + 1 - n - 4 = 3n - 3 = 3(n - 1)
• 4n + 1 + n + 4 = 5n + 5 = 5(n + 1)

Теперь подставим полученные выражения обратно:

(3(n - 1))(5(n + 1))

Теперь у нас есть выражение в виде произведения:

15(n - 1)(n + 1)

Заметим, что (n - 1) и (n + 1) – это два последовательных четных числа, так как n – нечетное. Это значит, что одно из них делится на 2, а другое на 4. Таким образом, произведение (n - 1)(n + 1) всегда делится на 8.

Итак, мы можем записать:

(n - 1)(n + 1) = 2k * 4m = 8km

Теперь мы имеем:

15(n - 1)(n + 1) = 15 * 8km = 120km

Таким образом, выражение (4n + 1)² – (n + 4)² делится на 120.

Мы доказали, что для любого нечетного n, выражение (4n + 1)² – (n + 4)² делится на 120.