Если увеличить диаметр круга на 3 метра, то площадь круга станет в два раза больше. Каков был первоначальный диаметр круга с точностью до 0,01?

Математика 8 класс Уравнения и неравенства диаметр круга площадь круга задача по математике 8 класс математика увеличение диаметра круга решение задач по геометрии площадь круга формула Новый

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим первоначальный диаметр круга как d. Тогда радиус круга r будет равен d/2. Площадь круга вычисляется по формуле:

S = π * r²

Подставим радиус в формулу площади:

S = π * (d/2)² = π * (d²/4)

Теперь, если мы увеличим диаметр на 3 метра, новый диаметр будет d + 3, а новый радиус будет (d + 3)/2. Площадь нового круга будет:

S_new = π * ((d + 3)/2)²

Теперь подставим новый радиус в формулу площади:

S_new = π * ((d + 3)²/4)

По условию задачи, площадь нового круга в два раза больше первоначальной, то есть:

S_new = 2 * S

Подставим выражения для площадей:

π * ((d + 3)²/4) = 2 * (π * (d²/4))

Теперь можем избавиться от π и 4, умножив обе стороны на 4/π:

(d + 3)² = 2d²

Теперь раскроем скобки:

d² + 6d + 9 = 2d²

Переносим все на одну сторону уравнения:

0 = 2d² - d² - 6d - 9

Упрощаем уравнение:

0 = d² - 6d - 9

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

d = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = -6, c = -9.

Подставим значения:

d = (6 ± √((-6)² - 4 * 1 * (-9))) / (2 * 1)

Сначала вычислим дискриминант:

D = 36 + 36 = 72

Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:

d = (6 ± √72) / 2

Упростим √72:

√72 = √(36 * 2) = 6√2

Таким образом, у нас получается:

d = (6 ± 6√2) / 2

Теперь разделим на 2:

d = 3 ± 3√2

Поскольку диаметр не может быть отрицательным, мы берем положительное значение:

d = 3 + 3√2

Теперь вычислим это значение. Приблизительно √2 ≈ 1.414, тогда:

d ≈ 3 + 3 * 1.414 ≈ 3 + 4.242 ≈ 7.242

Таким образом, первоначальный диаметр круга с точностью до 0,01 равен:

d ≈ 7.24 метра