Чтобы определить количество всех способов расположения числа 140 в 7 клетках, мы можем использовать принципы комбинаторики, в частности, метод разбиения чисел. Мы будем рассматривать, как можно распределить число 140 между 7 клетками, при этом каждая клетка может содержать любое неотрицательное целое число.

Для начала, давайте обозначим количество, которое будет находиться в каждой клетке:

• x1 - количество в первой клетке
• x2 - количество во второй клетке
• x3 - количество в третьей клетке
• x4 - количество в четвертой клетке
• x5 - количество в пятой клетке
• x6 - количество в шестой клетке
• x7 - количество в седьмой клетке

Нам нужно решить уравнение:

где x1, x2, x3, x4, x5, x6 и x7 - неотрицательные целые числа. Это типичная задача о разбиении числа на сумму.

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему о разбиениях целых чисел, которая гласит, что количество решений уравнения:

где x1, x2, ..., xk - неотрицательные целые числа, можно найти по формуле:

где C(n, k) - это биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

В нашем случае:

• n = 140 (это сумма, которую мы хотим получить)
• k = 7 (это количество клеток)

Теперь подставим значения в формулу:

Теперь нам нужно вычислить C(146, 6):

Теперь мы можем упростить это выражение:

После вычислений мы получим общее количество способов расположения числа 140 в 7 клетках. Это и будет искомый ответ.

Таким образом, для нахождения количества способов расположения числа 140 в 7 клетках, мы использовали принципы комбинаторики и получили формулу, которую можно вычислить для получения окончательного результата.